Giải bài 2.38 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tổng \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}\)bằng

A.\(2 + \frac{1}{{{2^n}}}\)             

B. \(2 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\)              

C.\(2 - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}\)                

D. \(2 - \frac{1}{{{2^n}}}\).

Lời giải chi tiết

Đáp án D.

Dãy số \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{{{2^2}}};...;\frac{1}{{{2^n}}}\)là cấp số nhân với \({u_1} = 1;\,\,q = \frac{1}{2}\). Cấp số nhân này có n+1 số hạng. Nên:

\({S_{n + 1}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{n + 1}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}} \right) = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}\).