Giải bài 23 trang 97 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Lấy điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(OC\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(M\) trên đường thẳng \(AB,AD\). Chứng minh:

a)     Tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật.

b)    \(BD//EF\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(EF\)

a)     Tứ giác \(AEMF\) có \(\widehat {FAE} = \widehat {AEM} = \widehat {MFA} = 90^\circ \) nên \(AEMF\) là hình chữ nhật.

b)    Do \(ABCD\) và \(AEMF\) là hình chữ nhật nên \(OA = OB\) và \(IA = IE\). Suy ra tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và tam giác \(IAE\) cân tại \(I\).

Do đó \(\widehat {OBA} = \widehat {OAB}\) và \(\widehat {IEA} = \widehat {IAE}\) hay \(\widehat {OBA} = \widehat {IEA}\).

Mà \(\widehat {OBA}\) và \(\widehat {IEA}\) nằm ở vị trí đòng vị, suy ra \(BD//EF\).