Giải bài 22 trang 69 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(AA'B'C'\) là hình tứ diện đều cạnh bằng \(a\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Lời giải chi tiết

Do tứ diện \(AA'B'C'\) là hình tứ diền đều cạnh bằng \(a\).

Gọi \(O\) là tâm đáy\(A'B'C'\),\(O\) là trọng tâm đáy \(A'B'C'\).

\(A'M = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};A'O = \frac{2}{3}A'M = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có \(AO \bot \left( {\;A'B'C'} \right) \Rightarrow AO = \sqrt {A{{A'}^2} - A'{O^2}}  \)

\(= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Diện tích tam giác \(A'B'C':S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng:

\(V = AO.{S_{A'B'C'}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

Chọn B