Bài 2.102 trang 137 SBT giải tích 12

Đề bài

Số nghiệm của phương trình $\displaystyle  {\log _{2003}}x + {\log _{2004}}x = 2005$ là:

A. $\displaystyle  0$                   B. $\displaystyle  1$

C. $\displaystyle  2$                   D. Vô số

Lời giải chi tiết

Xét hàm $\displaystyle  f\left( x \right) = {\log _{2003}}x + {\log _{2004}}x$ trên $\displaystyle  \left( {0; + \infty } \right)$ có:

$\displaystyle  f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln 2003}} + \frac{1}{{x\ln 2004}} > 0$ với mọi $\displaystyle  x > 0$ nên hàm số đồng biến trên $\displaystyle  \left( {0; + \infty } \right)$.

Mà $f\left( 1 \right) = {\log _{2003}}1 + {\log _{2004}}1 = 0$

$\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right)$ $\displaystyle   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{{\log }_{2003}}x + {{\log }_{2004}}x} \right) =  + \infty$

Nên đường thẳng $y=2005$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại duy nhất 1 điểm.

Do đó tồn tại duy nhất giá trị $\displaystyle  {x_0} > 1$ sao cho $\displaystyle  f\left( {{x_0}} \right) = 2005$.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

Chọn B.

Loigiaihay.com