Giải bài 2 trang 100 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho \(AD = 2a,AB = a\). Tính:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO} \)     

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)

Lời giải chi tiết

ABCD là hình chữ nhật có tâm O và \(AD = 2a,AB = a\) nên ta có:

\(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Áp dụng định lí côsin ta tính được \(\cos \widehat {OAB} = \frac{{A{B^2} + A{O^2} - O{B^2}}}{{2.AB.OA}} = \frac{{{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2}}}{{2a.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)

a)

 \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AO} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right)\\ = AB.AO.\cos \widehat {OAB} = a.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)\\ = AB.AD.\cos \widehat {DAB} = a.2a.\cos 90^\circ  = 0\end{array}\)