Giải bài 19 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau: a) \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 3{\rm{x}} - 1\); b) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3{\rm{x}} - 1\); c) \(y = {x^4} + {x^2} - 2\); d) \(y = - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} - 1\); e) \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 3}}{{{\rm{x}} - 4}}\); g) \(y = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x + 2}}\).

Quảng cáo

Đề bài

Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a) \(y =  - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 3{\rm{x}} - 1\);    b) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3{\rm{x}} - 1\);

c) \(y = {x^4} + {x^2} - 2\);                           d) \(y =  - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} - 1\);

e) \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 3}}{{{\rm{x}} - 4}}\); g) \(y = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x + 2}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Các bước để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right)\):

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Bước 2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...,n} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \({y^\prime } =  - {{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 3\)

\(y' = 0\) khi \(x =  - 1\) hoặc \(x = 3\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \({y^\prime } = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 3\)

\(y' = 0\) khi \(x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \({y^\prime } = 4{{\rm{x}}^3} + 2{\rm{x}}\); \(y' = 0\) khi \(x = 0\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

d) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \({y^\prime } =  - 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}}\)

\(y' = 0\) khi \(x = 0,x =  - 1,x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

e) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).

Ta có: \({y^\prime } =  - \frac{5}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 4\)

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\).

f) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)}^\prime }.\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + x + 2} \right).{{\left( {x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ &  = \frac{{{x^2} + 4{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {{\rm{x}} + 4} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

\(y' = 0\) khi \(x = 0,x =  - 4\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 4; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2;0} \right)\).

  • Giải bài 20 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) \(y = {x^3} - 12{\rm{x}} + 8\); b) \(y = 2{{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^2} - 1\); c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 2}}{{x + 1}}\); d) \(y = - x + 1 - \frac{9}{{x - 2}}\)

  • Giải bài 21 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích: a) Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(0 < a < 1\). b) Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(0 < a < 1\).

  • Giải bài 22 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Chứng minh rằng: a) Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). b) Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). c) Hàm số \(y = {2^{ - {x^2} + 2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

  • Giải bài 23 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) (y = x.{e^x}); b) (y = {left( {x + 1} right)^2}.{e^{ - x}}); c) (y = {x^2}.ln {rm{x}}); d) (y = frac{x}{{ln {rm{x}}}}).

  • Giải bài 24 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1 000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: \(N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\) trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây \(\left( {t \ge 0} \right)\) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Trong khoảng thời gian nào từ lúc nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên?

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close