Giải bài 19 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a) \(y =  - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 3{\rm{x}} - 1\);    b) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3{\rm{x}} - 1\);

c) \(y = {x^4} + {x^2} - 2\);                           d) \(y =  - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} - 1\);

e) \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 3}}{{{\rm{x}} - 4}}\); g) \(y = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x + 2}}\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \({y^\prime } =  - {{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 3\)

\(y' = 0\) khi \(x =  - 1\) hoặc \(x = 3\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \({y^\prime } = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 3\)

\(y' = 0\) khi \(x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \({y^\prime } = 4{{\rm{x}}^3} + 2{\rm{x}}\); \(y' = 0\) khi \(x = 0\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

d) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \({y^\prime } =  - 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}}\)

\(y' = 0\) khi \(x = 0,x =  - 1,x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

e) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).

Ta có: \({y^\prime } =  - \frac{5}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 4\)

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\).

f) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)}^\prime }.\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + x + 2} \right).{{\left( {x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ &  = \frac{{{x^2} + 4{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {{\rm{x}} + 4} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

\(y' = 0\) khi \(x = 0,x =  - 4\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 4; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2;0} \right)\).