Bài 1.9 trang 12 SBT hình học 12

Đề bài

Cho khối bát diện đều $ABCDEF$ (hình vẽ). Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD, M$ và $N$ theo thứ tự  là trung điểm của $AB$ và $AE$. Tính diện tích thiết diện tạo bởi khối bát diện đó và mặt phẳng $(OMN)$.

Lời giải chi tiết

Ta có khối bát diện đều $ABCDEF$, cạnh $a$. Do $MN//\left( {DEBF} \right)$ nên giao của mặt phẳng $\left( {OMN} \right)$ với mặt phẳng $\left( {DEBF} \right)$ là đường thẳng qua $O$ và song song với $MN$.

Trong $\left( {DEBF} \right)$, qua $O$ kẻ đường thẳng $PS//MN$ $\left( {P \in DE,S \in BF} \right)$.

Do $\left( {ADE} \right)//\left( {BCF} \right)$ nên $\left( {OMN} \right)$ cắt $\left( {BCF} \right)$ theo giao tuyến qua $S$ và song song với $NP$ cắt $FC$ tại trung điểm $R$.

Tương tự, $\left( {OMN} \right)$ cắt $DC$ tại trung điểm $Q$ của$DC$.

Suy ra thiết diện tạo bởi hình bát diện đã cho với mặt phẳng $\left( {OMN} \right)$ là lục giác đều có cạnh bằng $\dfrac{a}{2}$.

Do đó diện tích thiết diện là:  $S = 6{S_{\Delta OMN}} = 6.{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}{a^2}$.

Loigiaihay.com