Giải bài 18 trang 13 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau: a) \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 3{\rm{x}} - 1\); b) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3{\rm{x}} - 1\); c) \(y = {x^4} + {x^2} - 2\); d) \(y = - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} - 1\); e) \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 3}}{{{\rm{x}} - 4}}\); g) \(y = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x + 2}}\).

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) \(y = {x^3} - 12{\rm{x}} + 8\); b) \(y = 2{{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^2} - 1\); c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 2}}{{x + 1}}\); d) \(y = - x + 1 - \frac{9}{{x - 2}}\)

Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích: a) Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(0 < a < 1\). b) Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(0 < a < 1\).

Chứng minh rằng: a) Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). b) Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). c) Hàm số \(y = {2^{ - {x^2} + 2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) (y = x.{e^x}); b) (y = {left( {x + 1} right)^2}.{e^{ - x}}); c) (y = {x^2}.ln {rm{x}}); d) (y = frac{x}{{ln {rm{x}}}}).