Bài 1.67 trang 38 SBT giải tích 12

LG a

Xét tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp giải:

- Tính $y'$.

- Biện luận theo $m$ dấu của $y'$, từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{{3m}}{2}} \right\}$

$y' = \dfrac{{ - 2x - 3m - 2(4 - x)}}{{{{(2x + 3m)}^2}}} = \dfrac{{ - 3m - 8}}{{{{(2x + 3m)}^2}}}$

+) Nếu $m <  - \dfrac{8}{3} \Rightarrow y' > 0$ suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng  $\left( { - \infty ; - \dfrac{{3m}}{2}} \right),\left( { - \dfrac{{3m}}{2}; + \infty } \right)$

+) Nếu $m >  - \dfrac{8}{3} \Rightarrow y' < 0$ suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - \dfrac{{3m}}{2}} \right),\left( { - \dfrac{{3m}}{2}; + \infty } \right)$

+) Nếu $m =  - \dfrac{8}{3}$ thì $y =  - \dfrac{1}{2}$ khi $x \ne 4$ là hàm hằng.

LG b

Chứng minh rằng với mọi $m$, tiệm cận ngang của đồ thị $\left( {{C_m}} \right)$ của hàm số đã cho luôn đi qua điểm  $B\left( { - \dfrac{7}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right)$.

Phương pháp giải:

- Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Sử dụng định nghĩa: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}$ thì $y = {y_0}$ là TCN của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{4}{x} - 1}}{{2 + \dfrac{{3m}}{x}}} =  - \dfrac{1}{2}$

Nên với mọi $m$, đường thẳng $y =  - \dfrac{1}{2}$ là tiệm cận ngang và luôn đi qua $B\left( { - \dfrac{7}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right)$.

LG c

Biện luận theo $m$ số giao điểm của $\left( {{C_m}} \right)$ và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Biện luận số giao điểm dựa vào số nghiệm của phương trình vừa xét.

Lời giải chi tiết:

Số giao điểm của $\left( {{C_m}} \right)$ và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là số nghiệm của phương trình $\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}} = x$

Ta có: $\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}} = x$ $\Leftrightarrow 4 - x = 2{x^2} + 3mx$ với $x \ne  - \dfrac{{3m}}{2}$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + (3m + 1)x - 4 = 0$ với $x \ne  - \dfrac{{3m}}{2}$

Do $x \ne  - \dfrac{{3m}}{2}$ nên $x =  - \dfrac{{3m}}{2}$ không nghiệm đúng phương trình.

Hay $2.{\left( { - \dfrac{{3m}}{2}} \right)^2} - \dfrac{{9{m^2}}}{2} - \dfrac{{3m}}{2} - 4$$= \dfrac{{9{m^2}}}{2} - \dfrac{{9{m^2}}}{2} - \dfrac{{3m}}{2} - 4 \ne 0$ $\Rightarrow m \ne  - \dfrac{8}{3}$

Như vậy, để $x =  - \dfrac{{3m}}{2}$ không là nghiệm của phương trình  (*), ta phải có $m \ne  - \dfrac{8}{3}$.

Ta có: $\Delta  = {(3m + 1)^2} + 32 > 0,\forall m$.

Từ đó suy ra với $m \ne  - \dfrac{8}{3}$ đường thẳng $y = x$ luôn cắt $\left( {{C_m}} \right)$ tại hai điểm phân biệt.

LG d

Vẽ đồ thị của hàm số: $y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|$

Phương pháp giải:

- Vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}$.

- Vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|$ bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục $Ox$.

+ Lấy đối xứng phần dưới qua trục $Ox$ và xóa phần dưới cũ đi.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  $y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}},khi\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}} \ge 0}\\{ - \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}},khi\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}} < 0}\end{array}} \right.$

Trước hết, ta vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}$.

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}$.

Vì $y' = \dfrac{{ - 11}}{{{{(2x + 3)}^2}}} < 0$ với mọi $x \ne  - \dfrac{3}{2}$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - \dfrac{3}{2}} \right);\left( { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)$.

Bảng biến thiên: 

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x =  - \dfrac{3}{2}$, tiệm cận ngang $y =  - \dfrac{1}{2}$.

Đồ thị $\left( C \right)$ đi qua các điểm $\left( {0;\dfrac{4}{3}} \right),(4;0)$.

Để vẽ đồ thị $\left( {C'} \right)$ của hàm số $y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|$, ta giữ nguyên phần đồ thị $\left( C \right)$ nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị $\left( C \right)$ nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Loigiaihay.com