Bài 1.60 trang 36 SBT giải tích 12

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực.

+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.

+ Tìm cực trị (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định:$D = \mathbb{R}$,

* Chiều biến thiên:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty$

+) $y' = \dfrac{3}{4}{x^2} - 3x$;

$y' = 0$ $\Leftrightarrow \frac{3}{4}{x^2} - 3x = 0$ $\Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 12x}}{4} = 0$ $\Leftrightarrow 3{x^2} - 12x = 0$ $\Leftrightarrow 3x\left( {x - 4} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $( - \infty ;0),(4; + \infty )$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;4} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0,{y_{CD}} = 5$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 4,{y_{CT}} =  - 3$.

Bảng biên thiên:

* Đồ thị:

+) Đồ thị đi qua các điểm $A\left( { - 2; - 3} \right);B\left( {6;5} \right)$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $\left( {0;5} \right)$.

+) $y'' = \dfrac{3}{2}x - 3 = 0$ $\Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 1$ suy ra điểm uốn $U\left( {2;1} \right)$.

+) Vẽ đồ thị:

LG b

Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^3}-6{x^2} + m = 0\;$ có $3$ nghiệm thực phân biệt.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)

Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình về $\dfrac{1}{4}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 5 = 5 - \dfrac{m}{4}$.

- Sử dụng tương quan giữa số nghiệm của phương trình và số giao điểm của đường thẳng $y = 5 - \dfrac{m}{4}$ với đồ thị hàm số vừa vẽ ở ý a để suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

${x^3} - 6{x^2} + m = 0$     (1)

$\Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} =  - m$ $\Leftrightarrow \frac{1}{4}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} =  - \frac{m}{4}$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 5 = 5 - \dfrac{m}{4}$

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình (1) bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $\left( d \right):$$y = 5 - \dfrac{m}{4}$

Suy ra $\left( 1 \right)$ có $3$ nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $- 3 < 5 - \dfrac{m}{4} < 5$

$\Leftrightarrow  - 8 <  - \frac{m}{4} < 0$ $\Leftrightarrow  - 32 <  - m < 0$ $\Leftrightarrow 0 < m < 32$.

Loigiaihay.com