Giải bài 16 trang 14 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Nếu \(\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) thì giá trị của \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right)\) bằng:

A. \(\frac{{\sqrt 6 }}{6} - \frac{1}{2}\)                        

B. \(\sqrt 6  - 3\)            

C. \(\frac{{\sqrt 6 }}{6} - 3\)                          

D. \(\sqrt 6  - \frac{1}{2}\)

Lời giải chi tiết

Do \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{2}{3} \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Vì \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Ta có \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{6} - \frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là A.