Giải bài 21 trang 15 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Nếu \(\cos a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) thì giá trị của biểu thức \(A = 4\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right)\) bằng:

A. \( - \frac{{11}}{9}\)                     

B. \(\frac{{11}}{9}\)                        

C. \( - \frac{1}{9}\)                            

D. \(\frac{1}{9}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = 4\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right) = 4.\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + \frac{\pi }{3} - a + \frac{\pi }{3}} \right) - \cos \left( {a + \frac{\pi }{3} + a - \frac{\pi }{3}} \right)} \right]\\ = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} - \cos 2a} \right) = 2\left[ {\cos \frac{{2\pi }}{3} - \left( {2{{\cos }^2}a - 1} \right)} \right] = 2\left( {\frac{{ - 1}}{2} - 2.{{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2} + 1} \right) =  - \frac{{11}}{9}\end{array}\)

Đáp án đúng là A.