SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 1.55 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Rút gọn các biểu thức sau

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Quảng cáo

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau

a) \(\frac{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - \cos ({{45}^0} + \alpha )}}{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \cos ({{45}^0} + \alpha )}}\);

b) \(\frac{{\sin 2\alpha + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha }}\);

c) \(\frac{{1 + \cos \alpha - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha - \sin \alpha }}\);

d) \(\frac{{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 5\alpha }}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức cộng, công thức cơ bản, công thức góc nhân đôi, công thức biên đổi tổng thành tích để biến đổi linh hoạt, rút gọn

\(\begin{array}{l}\cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha .\sin \beta \\\sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha .\sin \beta \end{array}\)

\(\frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \tan a\); \(\frac{{\cos a}}{{\sin a}} = \cot a\)

\(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\);

\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \);

\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\end{array}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - \cos ({{45}^0} + \alpha )}}{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \cos ({{45}^0} + \alpha )}}\\ = \frac{{\sin {{45}^0}\cos \alpha + \cos {{45}^0}\sin \alpha - (\cos {{45}^0}\cos \alpha - \sin {{45}^0}\sin \alpha )}}{{\sin {{45}^0}\cos \alpha + \cos {{45}^0}\sin \alpha + (\cos {{45}^0}\cos \alpha - \sin {{45}^0}\sin \alpha )}}\\ = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right)}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt 2 \sin \alpha }}{{\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha .\end{array}\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin 2\alpha + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha }} = \frac{{2\sin \alpha .\cos \alpha + \sin \alpha }}{{1 + 2{{\cos }^2}\alpha - 1 + \cos \alpha }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sin \alpha (2\cos \alpha + 1)}}{{2{{\cos }^2}\alpha + \cos \alpha }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sin \alpha .(2\cos \alpha + 1)}}{{\cos \alpha .(2\cos \alpha + 1)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \tan \alpha .\end{array}\)

c) Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{1 + \cos \alpha - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha - \sin \alpha }}\\ = \frac{{1 + 2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 1 - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} \right) - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}\\ = \frac{{2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}\\ = \frac{{2\cos \frac{\alpha }{2}.\left( {\cos \frac{\alpha }{2} - \sin \frac{\alpha }{2}} \right)}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}.\left( {\sin \frac{\alpha }{2} - \cos \frac{\alpha }{2}} \right)}}\\ = - \frac{{\cos \frac{\alpha }{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}}} = - \cot \frac{\alpha }{2}.\end{array}\)

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha }}\\ = \frac{{\left( {\sin \alpha + \sin 5\alpha } \right) + \sin 3\alpha }}{{\left( {\cos \alpha + \cos 5\alpha } \right) + \cos 3\alpha }}\\ = \frac{{2\sin \frac{{\alpha + 5\alpha }}{2}\cos \frac{{\alpha - 5\alpha }}{2} + \sin 3\alpha }}{{2\cos \frac{{\alpha + 5\alpha }}{2}\cos \frac{{\alpha - 5\alpha + \cos 3\alpha }}{2}}}\\ = \frac{{2\sin 3\alpha .\cos ( - 2\alpha ) + \sin 3\alpha }}{{2\cos 3\alpha \cos ( - 2\alpha ) + \cos 3\alpha }}\\ = \frac{{\sin 3\alpha (2\cos ( - 2\alpha ) + 1)}}{{\cos 3\alpha (2\cos ( - 2\alpha ) + 1)}} = \frac{{\sin 3\alpha }}{{\cos 3\alpha }} = \tan 3\alpha .\end{array}\)