Bài 15 trang 96 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn $(O)$ và một điểm $M$ cố định không nằm trên đường tròn. Qua $M$ kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt $(O)$ tại $A$ và $B$. Đường thẳng thứ hai cắt $(O)$ tại $C$ và $D$. Chứng minh $MA.MB = MC.MD$

Lời giải chi tiết

a) $M$  nằm bên trong đường tròn

 

Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MDB$, ta có:

$\widehat {{AMC}} = \widehat {{BMD}}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat {CAB} = \widehat {ADB}$ vì cùng chắn cung $AD$

$\Rightarrow \Delta MAC \backsim \Delta MDB$

Theo tính chất hai tam giác đồng dạng ta có :

 $\dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MB}}$$\Rightarrow MA.MB = MC.MD$

b) $M$ nằm bên ngoài đường tròn

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {ADC} = \widehat {ABC}$  (hai góc nội tếp cùng chắn cung $AC$)

Xét $\Delta MAD$ và $\Delta MCB$, ta có:

Góc $M$ là góc chung

 $\widehat B = \widehat D$ vì cùng chắn cung $AC$

$\Rightarrow \Delta MCB \backsim \Delta MAD$

Theo tính chất của hai tam giác đồng dạng suy ra :

 $\dfrac{{MC}}{{MA}} = \dfrac{{MB}}{{MD}}$$\Rightarrow MC.MD = MA.MB$

Loigiaihay.com