Giải bài 1.23 trang 19 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}}\);

b) \(y = \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(y = x + 1 - \frac{3}{{x - 2}}\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 1 - \frac{3}{{x - 2}}} \right) =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1 - \frac{3}{{x - 2}}} \right) =  - \infty \).

Do đó đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\left( {x + 1 - \frac{3}{{x - 2}}} \right) - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = 0\). Do đó đường thẳng \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Ta có \(y = 3x - 1 + \frac{1}{{x + 3}}.\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \left( {3x - 1 + \frac{1}{{x + 3}}} \right) =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \left( {3x - 1 + \frac{1}{{x + 3}}} \right) =  - \infty \).

Do đó đường thẳng \(x =  - 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\left( {3x - 1 + \frac{1}{{x + 3}}} \right) - \left( {3x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{1}{{x + 3}}} \right) = 0\). Do đó đường thẳng \(y = 3x - 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.