Giải bài 1.15 trang 11 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sốngChứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có Quảng cáo
Đề bài Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có: \(\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\). Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng công thức biến tổng thành tích, công thức nhân đôi và công thức góc liên quan: \(\sin a + \sin b = 2\sin \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)\); $\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2}\right)$; \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\); \(\sin 2a = 2\sin a \cos a\). Áp dụng tổng 3 góc trong tam giác là 180 độ, biến đổi linh hoạt vế trái thành vế phải. Lời giải chi tiết Ta có: \(\text{VT} = \sin A + \sin B + \sin C \) \(= \sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\). Trong tam giác ABC: \(A + B + C = {180^o}\) \(( = \pi )\) \(A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} \) \(\Rightarrow \frac{{A + B}}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\). Ta có \(\frac{{A + B}}{2}\) và \(\frac{C}{2}\) là hai góc phụ nhau, nên: \(\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \cos \frac{C}{2}\), $\sin\frac{C}{2} = \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)$. $\text{VT} = 2\cos\frac{C}{2}\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) + 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$ $= 2\cos\frac{C}{2} \left[ \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) + \sin\frac{C}{2} \right]$ $= 2\cos\frac{C}{2} \left[ \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) + \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \right]$ $= 2\cos\frac{C}{2} . \left[ 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2} \right]$ $= 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} = \text{VP}$ (đpcm).
 Chia sẻ Bình luận
|
Danh sách bình luận