Bài 1.11 trang 18 SBT hình học 12

Đề bài

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác cân, $AB = AC = 5a,BC = 6a$ và các mặt bên tạo với đáy một góc ${60^0}$. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

Lời giải chi tiết

Kẻ $SH \bot \left( {ABC} \right)$ và $HA',HB',HC'$ lần lượt vuông góc với $BC,CA,AB$. Theo định lí ba đường vuông góc ta có $SA' \bot BC,SB' \bot CA,SC' \bot AB$

Từ đó suy ra $\widehat {SA'H} = \widehat {SB'H} = \widehat {SC'H} = {60^0}$.

$\Rightarrow \Delta SHA' = \Delta SHB' = \Delta SHC'$$\Rightarrow HA' = HB' = HC'$

Do đó $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Do tam giác cân ở $A$ nên $AH$ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

$\Rightarrow A,H,A'$ thẳng hàng và $A'$ là trung điểm của $BC$.

Tam giác $\Delta AA'B$ vuông tại $A'$ nên $AA{'^2} = A{B^2}-BA{'^2}$ $= 25{a^2}-9{a^2} = 16{a^2}$ $\Rightarrow AA' = 4a$

Gọi $p$ là nửa chu vi của tam giác $ABC$, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $r = HA'$.

Ta có: $p = \frac{{AB + BC + CA}}{2}$ $= \frac{{5a + 6a + 5a}}{2} = 8a$

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AA'.BC = \frac{1}{2}.4a.6a = 12{a^2}$

Lại có ${S_{ABC}} = pr \Rightarrow 12{a^2} = 8a.r$ $\Rightarrow r = \dfrac{3}{2}a$

Tam giác SHA' vuông tại H có $SH = HA'.\tan {60^0}$ $= \dfrac{{3a}}{2}\sqrt 3  = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}a$

Thể tích khối chóp là $V  = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH$ $= \dfrac{1}{3}.12{a^2}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}a = 6\sqrt 3 {a^3}$

Loigiaihay.com