Bài 1.16 trang 19 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,BC = b,AA' = c$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là những điểm thuộc cạnh $BB'$ và $DD'$ sao cho $BE = \dfrac{1}{2}EB',DF = \dfrac{1}{2}FD'$. Mặt phẳng $\left( {AEF} \right)$ chia khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ thành hai khối đa diện $\left( H \right)$ và $\left( {H'} \right)$. Gọi $\left( {H'} \right)$ là khối đa diện chứa đỉnh $A'$. Hãy tính thể tích của $\left( H \right)$ và tỉ số thể tích của $\left( H \right)$ và $\left( {H'} \right)$.

Lời giải chi tiết

Gọi $I = CC' \cap \left( {AEF} \right)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\left( {AEF} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = AE\\\left( {AEF} \right) \cap \left( {CDD'C'} \right) = FI\\\left( {ABB'A'} \right)//\left( {CDD'C'} \right)\end{array} \right.$ nên $AE//FI$.

Tương tự $AF//EI$ nên tứ giác $AEIF$ là hình bình hành.

Trên cạnh $CC'$ lấy điểm $J$ sao cho $CJ = DF$.

Dễ thấy $FJ//CD//AB,$ $FI = CD = AB$ nên $ABJF$ là hình bình hành $\Rightarrow AF//BJ,AF = BJ$.

Suy ra $EI//BJ,EI = BJ$ hay $EBJI$ là hình bình hành $\Rightarrow BE = JI$.

Từ đó suy ra $IJ = EB = DF = JC = \dfrac{c}{3}$

Ta có ${S_{BCIE}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{c + 2c}}{3}} \right)b = \dfrac{{bc}}{2}$; ${S_{DCIF}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{c + 2c}}{3}} \right)a = \dfrac{{ac}}{2}$

Nên ${V_{(H)}} = {V_{A.BCIE}} + {V_{A.DCIF}}$$= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{bc}}{2}.a + \dfrac{1}{3}.\dfrac{{ac}}{2}.b = \dfrac{{abc}}{3}$

Lại có ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc$ $\Rightarrow {V_{(H')}} = \dfrac{2}{3}abc$

$\Rightarrow \dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}} = \dfrac{1}{2}$.

Loigiaihay.com