Bài 1.10 trang 18 SBT hình học 12

Đề bài

Cho khối chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, các cạnh bên tạo với đáy một góc ${60^0}$. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

Lời giải chi tiết

Kẻ $SH \bot (ABC)$. Đường thẳng $AH$ cắt $BC$ tại $I$.

Do $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên $H$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên I là trung điểm BC.

Nên AI vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong tam giác.

Tam giác ABI vuông tại I có $AB = a,BI = \frac{a}{2}$.

Theo Pitago ta có: $AI = \sqrt {A{B^2} - B{I^2}}$ $= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Do đó $AH  = \frac{2}{3}AI= \dfrac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a,$

Ta có: $SH \bot \left( {ABC} \right)$ nên AH là hình chiếu của SA trên mp(ABC)

Do đó góc giữa SA và (ABC) là góc giữa SA và AH hay $\widehat {SAH} = {60^0}$

Tam giác SAH vuông tại H có $SH = AH.\tan {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a.\sqrt 3  = a$

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}}= \frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}AI.BC$ $= \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a= \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}$.

Loigiaihay.com