Đề thi vào 10 môn Toán Phú Thọ năm 2018

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (1,5 điểm)

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của $x$ để biểu thức $\sqrt {x - 2}$ có nghĩa.

A. $x \ge 2$                           B. $x > 2$                              C. $x \le 2$                            D. $x \ge 0$

Câu 2 :   Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất?

A. $y = \sqrt {x + 2}$                       B. $y = \dfrac{2}{x} + 1$                             C. $y =  - 2x + 1$                  D. $y = {x^2}$

Câu 3:  Tìm $m$ biết điểm $A\left( {1;\; - 2} \right)$ thuộc đường thẳng có phương trình $y = \left( {2m - 1} \right)x + 3 + m.$

A. $m =  - \dfrac{4}{3}$                               B. $m = \dfrac{4}{3}$                                  C. $m = \dfrac{5}{3}$                                     D. $m =  - \dfrac{5}{3}$  

Câu 4:  Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \left( {2m - 1} \right)x + m + 2$ đồng biến trên $R.$ 

A. $m < \dfrac{1}{2}$                                  B. $m > \dfrac{1}{2}$                                  C. $m > 0$                             D. $m < 0$  

Câu 5: Hàm số nào dưới đây đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0?$  

A. $y =  - 3x + 1$                  B. $y = x - 3$                                     C. $y = {x^2}$                                   D. $y =  - 3{x^2}$

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0$ vô nghiệm.

A. $m \ge  - 2$                                   B. $m \le  - 2$                                    C. $m >  - 2$                         D. $m <  - 2$  

Câu 7: Phương trình nào dưới đây có tổng hai nghiệm bằng 3?

A. $2{x^2} + 6x + 1 = 0$                  B. $2{x^2} - 6x + 1 = 0$                   C. ${x^2} - 3x + 4 = 0$                     D. ${x^2} + 3x - 2 = 0$

Câu 8:  Cho tam giác ABC  vuông tại A. Khẳng định nào dưới đây đúng?  

A. $\cos B = \dfrac{{AB}}{{BC}}$              B. $\cos B = \dfrac{{AC}}{{BC}}$              C. $\cos B = \dfrac{{AB}}{{AC}}$                       D. $\cos B = \dfrac{{AC}}{{AB}}.$ 

Câu 9:  Khẳng định nào dưới đây sai?

A. Mọi hình vuông đều là tứ giác nội tiếp.                             B. Mọi hình chữ nhật đều là tứ giác nội tiếp.

C. Mọi hình thoi đều là tứ giác nội tiếp.                                D. Mọi hình thang cân đều là tứ giác nội tiếp.

Câu 10:  Cho đường tròn tâm $O,$ bán kính $R = 5\;cm$ có dây cung $AB = 6\;cm.$ Tính khoảng cách  $d$ từ $O$ tới đường thẳng $AB.$   

A. $d = 1\;cm.$                                 B. $d = 2\;cm.$                                 C. $d = 4\;cm$                                  D. $d = \sqrt {34} \;cm.$

II. TỰ LUẬN: (7,5 điểm)

Câu 1 (1,5 điểm):

Hai bạn Hòa và Bình có 100 quyển sách. Nếu Hòa cho Bình 10 quyển sách thì số quyển sách của Hòa bằng $\dfrac{3}{2}$ số quyển sách của Bình. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu quyển sách?

Câu 2 (2 điểm):

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $A\left( {3;\;7} \right)$ và song song với đường thẳng có phương trình $y = 3x + 1.$

a) Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right).$

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và parabol $\left( P \right):\;\;y = {x^2}.$

Câu 3 (3 điểm):

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định nằm ngoài (O; R). Từ M  kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O; R) (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng (d) bất kỳ qua M và cắt (O; R) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa M và D). Gọi N  là giao điểm của AB và CD.

a) Chứng minh rằng tứ giác OAMB nội tiếp.

b) Chứng minh rằng $\Delta ANC$ và $\Delta DNB$ đồng dạng, $\Delta AMC$ và $\Delta DMA$ đồng dạng.

c) Chứng minh rằng:$\dfrac{{MC}}{{MD}} = \dfrac{{NC}}{{ND}}.$

d) Xác định vị trí của đường thẳng $\left( d \right)$ để $\dfrac{1}{{MD}} + \dfrac{1}{{ND}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4 (1 điểm):

Cho $a,\;b$ là các số thực không âm thỏa mãn ${a^{2018}} + {b^{2018}} = {a^{2020}} + {b^{2020}}.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2}.$

Lời giải

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Phương pháp:

Biểu thức $\sqrt {f\left( x \right)}$ có nghĩa $\Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.$

Cách giải:

Tìm tất cả các giá trị của $x$ để biểu thức $\sqrt {x - 2}$ có nghĩa.

A. $x \ge 2$                           B. $x > 2$                              C. $x \le 2$                            D. $x \ge 0$

Biểu thức có nghĩa $\Leftrightarrow x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.$

Chọn A.

Câu 2:

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b\;\;\left( {a \ne 0} \right).$

Cách giải:

Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất?

A. $y = \sqrt {x + 2}$                       B. $y = \dfrac{2}{x} + 1$                             C. $y =  - 2x + 1$                  D. $y = {x^2}$

Theo khái niệm về hàm số bậc nhất thì chỉ có đáp án C đúng.

Chọn C.

Câu 3:

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng sau đó giải phương trình tìm m.

Cách giải:

Tìm $m$ biết điểm $A\left( {1;\; - 2} \right)$ thuộc đường thẳng có phương trình $y = \left( {2m - 1} \right)x + 3 + m.$

A. $m =  - \dfrac{4}{3}$                               B. $m = \dfrac{4}{3}$                                  C. $m = \dfrac{5}{3}$                                     D. $m =  - \dfrac{5}{3}$ 

Điểm $A\left( {1; - 2} \right)$ thuộc đường thẳng $y = \left( {2m - 1} \right)x + 3 + m$

$\begin{array}{l} \Rightarrow  - 2 = \left( {2m - 1} \right).1 + 3 + m\\ \Leftrightarrow  - 2 = 2m - 1 + 3 + m\\ \Leftrightarrow 3m = 4\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{4}{3}.\end{array}$

Chọn B.

Câu 4:

Phương pháp:

Hàm số $y = ax + b$ đồng biến trên $R \Leftrightarrow a > 0.$

Cách giải:

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \left( {2m - 1} \right)x + m + 2$ đồng biến trên $R.$ 

A. $m < \dfrac{1}{2}$                                  B. $m > \dfrac{1}{2}$                                  C. $m > 0$                             D. $m < 0$  

Hàm số đồng biến trên $R \Leftrightarrow 2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}.$

Chọn B.

Câu 5:

Phương pháp:

+) Hàm số bậc nhất $y = ax + b\;\;\left( {a \ne 0} \right)$ luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên $R.$

+) Hàm số bậc hai $y = a{x^2}\;\;\left( {a \ne 0} \right)$

TH1: $a > 0$ thì hàm số đồng biến khi $x > 0$ và nghịch biến khi $x < 0.$

TH2: $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0.$

Cách giải:

Hàm số nào dưới đây đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0?$ 

A. $y =  - 3x + 1$                  B. $y = x - 3$                                     C. $y = {x^2}$                                   D. $y =  - 3{x^2}$

+) Đáp án A: Hàm số là hàm số bậc nhất có $a =  - 3 < 0 \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $R \Rightarrow$ loại đáp án A.

+) Đáp án B: Hàm số là hàm số bậc nhất có $a = 1 > 0 \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $R \Rightarrow$ loại đáp án B.

+) Đáp án C: Hàm số là hàm số bậc hai có $a = 1 > 0 \Rightarrow$ hàm số đồng biến khi $x > 0$ và nghịch biến khi  $x < 0 \Rightarrow$ loại đáp án C.

Chọn D.

Câu 6:

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' < 0$

Cách giải:

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0$ vô nghiệm.

A. $m \ge  - 2$                                   B. $m \le  - 2$                                    C. $m >  - 2$                         D. $m <  - 2$ 

Phương trình đã cho vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} + 3 < 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 3 < 0\\ \Leftrightarrow 2m <  - 4\\ \Leftrightarrow m <  - 2.\end{array}$

Chọn D.

Câu 7:

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\;\;\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1},\;\;{x_2}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a} = S\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = P\end{array} \right.\;\;\left( {{S^2} \ge 4P} \right).$ (theo hệ thức Vi-ét).

Cách giải:

Phương trình nào dưới đây có tổng hai nghiệm bằng 3?

A. $2{x^2} + 6x + 1 = 0$                  B. $2{x^2} - 6x + 1 = 0$                   C. ${x^2} - 3x + 4 = 0$                     D. ${x^2} + 3x - 2 = 0$

+) Đáp án A: Giả sử phương trình có hai nghiệm ${x_1},\;{x_2}$ thì ${x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a} =  - \dfrac{6}{2} =  - 3 \ne 3 \Rightarrow$ loại đáp án A.

+) Đáp án D: Giả sử phương trình có hai nghiệm ${x_1},\;{x_2}$ thì ${x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a} =  - 3 \ne 3 \Rightarrow$ loại đáp án D.

+) Đáp án B: Giả sử phương trình có hai nghiệm ${x_1},\;{x_2}$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S =  - \dfrac{b}{a} = \dfrac{6}{2} = 3\\{x_1}{x_2} = P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right..$

Phương trình có hai nghiệm ${x_1},\;{x_2} \Leftrightarrow {S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {3^2} \ge 4.\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 9 \ge 2$ (luôn đúng).

$\Rightarrow$ Đáp án B đúng.

+) Đáp án C: Giả sử phương trình có hai nghiệm ${x_1},\;{x_2}$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S =  - \dfrac{b}{a} = 3\\{x_1}{x_2} = P = \dfrac{c}{a} = 4\end{array} \right..$

Phương trình có hai nghiệm ${x_1},\;{x_2} \Leftrightarrow {S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {3^2} \ge 4.4 \Leftrightarrow 9 \ge 16$ (vô lý).

$\Rightarrow$ Phương trình đã cho vô nghiệm.

$\Rightarrow$ Đáp án C sai.

Chọn B.

Câu 8:

Phương pháp:

Áp dụng công thức lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Cách giải:

Cho tam giác ABC  vuông tại A. Khẳng định nào dưới đây đúng? 

A. $\cos B = \dfrac{{AB}}{{BC}}$              B. $\cos B = \dfrac{{AC}}{{BC}}$              C. $\cos B = \dfrac{{AB}}{{AC}}$                       D. $\cos B = \dfrac{{AC}}{{AB}}.$ 

Ta có: $\cos B = \dfrac{{AB}}{{BC}}$

Chọn A.

Câu 9:

Phương pháp:

Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng ${180^0}$ là tứ giác nội tiếp.

Cách giải:

Khẳng định nào dưới đây sai?

A. Mọi hình vuông đều là tứ giác nội tiếp.                         B. Mọi hình chữ nhật đều là tứ giác nội tiếp.           

C. Mọi hình thoi đều là tứ giác nội tiếp.                             D. Mọi hình thang cân đều là tứ giác nội tiếp.

Ta có hình vuông, hình chữ nhật và hình thang cân đều là những tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng ${180^0}.$

$\Rightarrow$ A, B, D đúng.

Chọn C.

Câu 10:

Phương pháp:

+) Đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Sử dụng định lý Pi-ta-go để tính d.

Cách giải:

Cho đường tròn tâm $O,$ bán kính $R = 5\;cm$ có dây cung $AB = 6\;cm.$ Tính khoảng cách  $d$ từ $O$ tới đường thẳng $AB.$  

A. $d = 1\;cm.$                                 B. $d = 2\;cm.$                                 C. $d = 4\;cm$                                  D. $d = \sqrt {34} \;cm.$

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên dây $AB \Rightarrow OH \bot AB \Rightarrow H$ là trung điểm của $AB.$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

$\Rightarrow OH = d$ và $AH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3cm.$ 

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác $AOH$ vuông tại $H$ ta có:

$\begin{array}{l}O{H^2} = O{A^2} - A{H^2} = {5^2} - {3^2} = {4^2}\\ \Rightarrow d = OH = 4cm.\end{array}$

Chọn C.

PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1:

Phương pháp:

Gọi số quyển sách của bạn Hòa là $x\;$ (quyển sách), $\left( {10 < x < 100,\;x \in N} \right).$

Khi đó biểu diễn số quyển sách của Bình theo số quyển sách của Hòa.

Phương trình được lập: Số quyển sách của Hòa sau khi cho Bình 10 quyển sách $= \dfrac{3}{2}$ số quyển sách của Bình sau khi được  Hòa cho 10 quyển sách.

Cách giải:

Hai bạn Hòa và Bình có 100 quyển sách. Nếu Hòa cho Bình 10 quyển sách thì số quyển sách của Hòa bằng $\dfrac{3}{2}$ số quyển sách của Bình. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu quyển sách?

Gọi số quyển sách của bạn Hòa là $x\;$ (quyển sách), $\left( {10 < x < 100,\;x \in N} \right).$

Khi đó số quyển sách của Bình là: $100 - x$ (quyển sách).

Số quyển sách của Hòa sau khi cho Bình $10$ quyển sách là: $x - 10$ (quyển sách).

Số quyển sách của Bình sau khi nhận được $10$ quyển sách từ Hòa là: $100 - x + 10 = 110 - x$ (quyển sách).

Theo đề bài ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\;\;\;x - 10 = \dfrac{3}{2}\left( {110 - x} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 20 = 330 - 3x\\ \Leftrightarrow 5x = 350\\ \Leftrightarrow x = 70\;\;\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy lúc đầu Hòa có $70$ quyển sách và Bình có $100 - 70 = 30$ quyển sách.

Câu 2:

Phương pháp:

a) Giả sử công thứ của đường thẳng $\left( d \right):\;y = ax + b.$

+) Khi đó thay tọa độ điểm A vào đường thẳng ta được một phương trình của a và b.

+) Đường thẳng $\left( d \right)$ song song với đường thẳng $y = 3x + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b \ne 1\end{array} \right..$ Thay vào phương trình trên ta tìm được a và b.

b) Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

+) Giải phương trình hoành độ sau đó thế các hoành độ vừa tìm vào công thức hàm số của một  trong hai đồ thị để tìm tung độ.

Cách giải:

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $A\left( {3;\;7} \right)$ và song song với đường thẳng có phương trình $y = 3x + 1.$

a) Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right).$

Giả sử phương trình của đường thẳng $\left( d \right):\;y = ax + b.$

Đường thẳng $\left( d \right)$ song song với đường thẳng $y = 3x + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b \ne 1\end{array} \right..$

Đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $A\left( {3;\;7} \right) \Rightarrow 7 = 3.3 + b \Leftrightarrow b =  - 2.\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy phương trình đường thẳng $\left( d \right):\;\;y = 3x - 2.$

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và parabol $\left( P \right):\;\;y = {x^2}.$

Hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là nghiệm của p hương trình: ${x^2} = 3x - 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4\\x = 1 \Rightarrow y = {1^2} = 1\end{array} \right..\end{array}$

Vậy $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( {2;\;4} \right)$ và $B\left( {1;\;1} \right).$

Câu 3:

Cách giải:

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định nằm ngoài (O; R). Từ M  kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O; R) (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng (d) bất kỳ qua M và cắt (O; R) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa M và D). Gọi N  là giao điểm của AB và CD.

a) Chứng minh rằng tứ giác OAMB nội tiếp.

Vì $MA,\;\;MB$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right) \Rightarrow \widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^0}.$

Xét tứ giác $\widehat {MAO} + \widehat {OBM} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$ $\Rightarrow MAOB$ là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Chứng minh rằng $\Delta ANC$ và $\Delta DNB$ đồng dạng, $\Delta AMC$ và $\Delta DMA$ đồng dạng.

Xét $\Delta ANC$ và $\Delta DNB$ ta có:

$\widehat {CAN} = \widehat {NDB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CB$)

$\widehat {ANC} = \widehat {DNB}$ (hai góc đối đỉnh).

$\Rightarrow \Delta ANC \sim \Delta DNB\;\left( {g - g} \right)\;\;\;\;\left( {dpcm} \right).$

Xét $\Delta AMC$ và $\Delta DMA$ ta có:

$\widehat {AMD}\;\;chung$

$\widehat {MAC} = \widehat {MDA}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $AC$).

$\Rightarrow \Delta MAC \sim \Delta MDA\;\;\left( {g - g} \right)\;\;\;\left( {dpcm} \right).$

c) Chứng minh rằng: $\dfrac{{MC}}{{MD}} = \dfrac{{NC}}{{ND}}.$

Ta có: $\Delta MAC \sim \Delta MDA\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MA}} \Leftrightarrow M{A^2} = MC.MD.$

Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $MO \Rightarrow AB \bot MO = \left\{ H \right\}.$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

 Xét tam giác $MAO$ vuông tại $A$ và có đường cao $AH$ có:

$M{A^2} = MH.MO.$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\begin{array}{l} \Rightarrow MC.MD = MH.MO\;\left( { = M{A^2}} \right).\\ \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MO}} = \dfrac{{MH}}{{MO}}.\end{array}$

Xét $\Delta MCH$ và $\Delta MOD$ ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{MC}}{{MH}} = \dfrac{{MO}}{{MD}}\;\;\left( {cmt} \right)\\\widehat {OMD}\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta MCH \sim \Delta MOD\;\;\left( {g - g} \right).\end{array}$

$\Rightarrow \widehat {MHC} = \widehat {MDO}$  (hai góc tương ứng).

Xét tứ giác $CHOD$ ta có: $\widehat {MHC} = \widehat {CDO}\;\;\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow CHOD$ là tứ giác nội tiếp. (góc ngoại tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

$\Rightarrow \widehat {DHO} = \widehat {DCO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $DO$)

Lại có: $\widehat {ODC} = \widehat {OCD}$ $(\Delta COD$ cân tại $O)$

$\Rightarrow \widehat {DHO} = \widehat {CHM}\left( { = \widehat {CDO}} \right).$

Mà $HM \bot HN\;\;\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \widehat {NHC} = \widehat {NHD}\;\left( { = {{90}^0} - \widehat {CHM}} \right)$

$\Rightarrow NH$ là tia phân giác trong của $\widehat {CHD}$ và $HM$ là tia phân giác ngoài của $\widehat {CHD}.$

$\Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MD}} = \dfrac{{NC}}{{ND}}\left( { = \dfrac{{HC}}{{HD}}} \right).\;\;\left( {dpcm} \right)$

d) Xác định vị trí của đường thẳng $\left( d \right)$ để $\dfrac{1}{{MD}} + \dfrac{1}{{ND}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét:  $DC\left( {\dfrac{1}{{MD}} + \dfrac{1}{{ND}}} \right)$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{CD}}{{MD}} + \dfrac{{CD}}{{ND}} = \dfrac{{MD - CM}}{{MD}} + \dfrac{{CN + ND}}{{ND}}\\ = 1 - \dfrac{{CM}}{{MD}} + 1 + \dfrac{{CN}}{{ND}} = 2 + \dfrac{{CN}}{{DN}} - \dfrac{{MC}}{{MD}} = 2.\;\;\;\left( {do\;\;\dfrac{{MC}}{{MD}} = \dfrac{{NC}}{{ND}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{MD}} + \dfrac{1}{{ND}} = \dfrac{2}{{CD}}.\end{array}$

Vì $CD$ là dây cung $\Rightarrow CD \le 2R \Rightarrow \dfrac{2}{{CD}} \ge \dfrac{2}{{2R}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{CD}} \ge \dfrac{1}{R}.$

$\Rightarrow \dfrac{1}{{MD}} + \dfrac{1}{{ND}} \ge \dfrac{1}{R}.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow CD = 2R$ hay đường thẳng $d$ đi qua $O.$

Vậy để $\dfrac{1}{{MD}} + \dfrac{1}{{ND}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì đường thẳng $d$ đi qua $O.$