Đề thi vào 10 môn Toán Hà Tĩnh năm 2023Tải vềCâu 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) A=√48−3√3. b) B=(1√x+2+1√x−2):√xx−4 (với x>0;x≠4). Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Tải về
Đề bài Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) A=√48−3√3. b) B=(1√x+2+1√x−2):√xx−4 (với x>0;x≠4). Câu 2: a) Cho hai đường thẳng (d1):y=(m−3)x+4(m là tham số) và (d2):y=2x−1. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau. b) Giải hệ phương trình {2x−y=33x+2y=8. Câu 3: Cho phương trình x2−2mx+m2−m−2=0 (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x1x2+1x21+x22+2(1+x1x2)=16. Câu 4: Một phòng họp ban đầu có 96 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau. Có một lần phòng họp phải cất bớt 2 dãy ghế và mỗi dãy còn lại xếp thêm 1 ghế (số ghế trong các dãy vẫn bằng nhau) để vừa đủ chỗ ngồi cho 110 đại biểu. Hỏi ban đầu trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế? Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H∈BC). Biết độ dài đoạn AB=5cm và AH=4cm. Tính độ dài đoạn BH và diện tích tam giác ABC. Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E (D khác B và E khác C). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD. a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp. b) Đường thẳng AH cắt BC tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm P (P nằm giữa A và H). Đường thẳng DF cắt đường tròn (O) tại điểm K (K khác D). Gọi M là giao điểm của EK và BC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDP. Chứng minh CE2=BC.MC và ba điểm B, I, P thẳng hàng. Câu 7: Cho a, b, c là các số thực khác không. Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=a2a2+2(b+c)2+b2b2+2(c+a)2+c2c2+2(a+b)2. ----- HẾT ----- Lời giải chi tiết Câu 1 (VD): Phương pháp: a) Căn bậc hai của một số a là một số x sao cho x2=a b) Quy đồng và rút gọn sử dụng hằng đẳng thức. Cách giải: a) A=√48−3√3. Ta có: A=√48−3√3=√3.42−3√3=4√3−3√3=√3 Vậy A=√3. b) B=(1√x+2+1√x−2):√xx−4 (với x>0;x≠4). Với x>0;x≠4 ta có: B=(1√x+2+1√x−2):√xx−4=(√x−2(√x+2)(√x−2)+√x+2(√x+2)(√x−2)).x−4√x=2√x(√x+2)(√x−2).x−4√x=2√xx−4.x−4√x=2 Vậy B=2. Câu 2 (VD): Phương pháp: a) Để hai đường thẳng song song thì hệ số góc bằng nhau. b) Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp trừ vế. Cách giải: Cách giải: a) Cho hai dường thẳng (d1):y=(m−3)x+4(m là tham số) và (d2):y=2x−1. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau. Để (d1) và (d2) song song với nhau thì {m−3=24≠−1⇔m=5. Vậy với m=5 thì hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau. b) Giải hệ phương trình {2x−y=33x+2y=8. {2x−y=33x+2y=8⇔{y=2x−3(1)3x+2y=8(2) Thay (1) vào (2) ta có (2)⇔3x+2(2x−3)=8⇔3x+4x−6=8⇔7x=14⇔x=2. Thay x=2 vào (1) ta được y=2.2−3=1. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(2;1). Câu 3 (VD): Phương pháp: Sử dụng định lí Vi – ét. Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có 2 nghiệm x1,x2 thì {S=X1+X2=−baP=x1⋅X2=ca Cách giải: Ta có Δ′=m2−(m2−m−2)=m2−m2+m+2=m+2 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì Δ′>0⇔m+2>0⇔m>−2 Vậy m>−2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 Áp dụng hệ thức Viet có {x1+x2=2mx1.x2=m2−m−2 Để x1x2+1x21+x22+2(1+x1x2)=16. ⇔x1x2+1x21+x22+2x1x1+2=16 ⇔x1x2+1(x1+x2)2+2=16 ⇔m2−m−2+1(2m)2+2=16 ⇔m2−m−14m2+2=16 ⇔6m2−6m−6=4m2+2 ⇔2m2−6m−8=0 ⇔2(m+1)(m−4)=0 ⇔[m=−1(TM)m=4(TM) Vậy m = -1 hoặc m = 4 thỏa mãn bài toán. Câu 4 (VD): Phương pháp: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Cách giải: Gọi x là số dãy ghế ban đầu. (x>2,x∈N∗). Sau khi cất đi 2 dãy ghế, số dãy ghế còn lại là: x−2 (dãy). Số ghế ở mỗi hàng lúc ban đầu là 96x (ghế). Số ghế ở mỗi hàng sau khi bỏ bớt hai hàng là 110x−2 (ghế). Vì khi cất bớt 2 dãy ghế và mỗi dãy còn lại xếp thêm 1 ghế nên ta có phương trình: 110x−2−96x=1 ⇔110x(x−2)x−96(x−2)(x−2)x=1 ⇔110x−96(x−2)(x−2)x=1 ⇔110x−96x+192(x−2)x=1 ⇔14x+192(x−2)x=1 ⇔14x+192=x2−2x ⇔x2−16x−192=0 ⇔(x−24)(x+8)=0 ⇔[x=24(tm)x=−8(ktm) Vậy số dãy ghế lúc đầu là 24 dãy ghế. Câu 5 (VD): Phương pháp: Áp dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH ta được: AB2=BH.BC. Cách giải: Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABH vuông tại H ta được: AH2+BH2=AB2 ⇒42+BH2=52 ⇔16+BH2=25⇔BH2=9⇔BH=3 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH ta được: AB2=BH.BC ⇒BC=AB2BH=523=253 Diện tích tam giác ABC là: SABC=12.AH.BC=12.4.253=503(cm2) Câu 6 (VD): Cách giải: a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp. Ta có ∠BEC=∠BDC=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒∠ADH=∠AEH=900. ⇒∠ADH+∠AEH=900+900=1800 ⇒ADHE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800). b) Đường thẳng AH cắt BC tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm P (P nằm giữa A và H). Đường thẳng DF cắt đường tròn (O) tại điểm K (K khác D). Gọi M là giao điểm của EK và BC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDP. Chứng minh CE2=BC.MC và ba điểm B, I, P thẳng hàng. +) Chứng minh CE2 = BC.MC. Xét tam giác ABC có: ∠BEC=∠BDC=900(cmt)⇒BE⊥AC,CD⊥AB. Mà BE∩CD={H}⇒H là trực tâm của tam giác ABC. ⇒AH⊥BC tại F ⇒AF⊥BC⇒∠BFH=900. Xét tứ giác BFHD có: ∠BFH+∠BDH=900+900=1800 ⇒BFHD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800). ⇒∠DFH=∠DBH=∠DBE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DH) Mà ∠DBE=∠DKE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE) ⇒∠DFH=∠DKE. Mà 2 góc này ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau. ⇒FP//KE⇒AF//KE (dhnb). Mà AF⊥BC(cmt)⇒KE⊥BC tại M ⇒EM⊥BC. Xét tam giác BCE vuông tại E, đường cao EM có: CE2=BC.MC (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (đpcm). +) Chứng minh ba điểm B, I, P thẳng hàng. Xét ΔCHF và ΔCBD có: ∠CFH=∠CDB=900∠BCDchung⇒ΔCHF∽ \Rightarrow \frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CF}}{{CD}} (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) \Rightarrow CH.CD = CB.CF (1) Ta có: \angle CPB = {90^0} (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \Rightarrow \Delta CBP vuông tại P. Xét tam giác CBP vuông tại P, đường cao PF có: C{P^2} = CB.CF (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2) Từ (1) và (2) \Rightarrow CH.CD = C{P^2} \Rightarrow \frac{{CH}}{{CP}} = \frac{{CP}}{{CD}}. Xét \Delta CHP và \Delta CPD có: \begin{align}\angle PCD\,\,chung \\ \frac{CH}{CP}=\frac{CP}{CD}\,\,\left( cmt \right) \\ \Rightarrow \Delta CHP\backsim \Delta CPD\,\,\left( c.g.c \right) \\ \end{align} \Rightarrow \angle HPC = \angle PDC = \angle PDH (2 góc tương ứng). Ta có \angle HPI = \frac{{{{180}^0} - \angle HIP}}{2} = {90^0} - \frac{{\angle HIP}}{2} = {90^0} - \angle PDH (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung HP) \Rightarrow \angle HIP = {90^0} - \angle HPC \Leftrightarrow \angle HIP + \angle HPC = {90^0} \Leftrightarrow \angle CPI = {90^0} \Rightarrow IP \bot PC (3) Mà \angle CPB = {90^0} (cmt) \Rightarrow BP \bot PC (4) Từ (3) và (4) \Rightarrow B,\,\,I,\,\,P thẳng hàng (đpcm). Câu 7 (VDC): Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki. Cách giải: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: {\left( {a + b} \right)^2} \le \left( {1 + 1} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) {\left( {b + c} \right)^2} \le 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) {\left( {c + a} \right)^2} \le 2\left( {{c^2} + {a^2}} \right) Suy ra: P\, \ge \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 4({b^2} + {c^2})}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 4({c^2} + {a^2})}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 4({a^2} + {b^2})}} \,\,\, = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 4({b^2} + {c^2})}} + \frac{1}{3} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 4({c^2} + {a^2})}} + \frac{1}{3} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 4({a^2} + {b^2})}} + \frac{1}{3} - 1 \,\,\, = \frac{{4({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{3\left( {{a^2} + 4({b^2} + {c^2})} \right)}} + \frac{{4({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{3\left( {{b^2} + 4({c^2} + {a^2})} \right)}} + \frac{{4({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{3\left( {{c^2} + 4({a^2} + {b^2})} \right)}} - 1 \,\,\, = \frac{4}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})\left( {\frac{1}{{{a^2} + 4({b^2} + {c^2})}} + \frac{1}{{{b^2} + 4({c^2} + {a^2})}} + \frac{1}{{{c^2} + 4({a^2} + {b^2})}}} \right) - 1 Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: \frac{1}{{{a^2} + 4({b^2} + {c^2})}} + \frac{1}{{{b^2} + 4({c^2} + {a^2})}} + \frac{1}{{{c^2} + 4({a^2} + {b^2})}} \ge \frac{{{{\left( {1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} = \frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} Do đó: P \ge \frac{4}{3}.\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \frac{1}{3} khi a = b = c.
Quảng cáo
|