Đề số 9 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 8

Đề bài

Bài 3 (2,0 điểm)Cho biểu thức: $A = \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}$

a)Tìm giá trị của $x$để giá trị của biểu thức A xác định.

b)Rút gọn A.

Bài 4 Cho hình vuông $ABC{\rm{D}}$. Trên các cạnh $AB,\,BC,\,C{\rm{D}},\,DA$ lần lượt lấy các điểm $M,\,N,\,E,\,F$ sao cho $AM = CN = CE = AF$.

a)Chứng minh tứ giác $ANCF$ là hình bình hành.

b)Chứng minh tứ giác $MNEF$ là hình chữ nhật.

c)Gọi $H$ là hình chiếu của $A$  trên $BF$. Tính $\angle CHM$.

Bài 5 : Cho $x + y = 2$ chứng minh: ${x^{2017}} + {y^{2017}} \le {x^{2018}} + {y^{2018}}$

LG trắc nghiệm

Lời giải chi tiết:

I.   TRẮC NGHIỆM

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

$a)\,\,{x^2} + 2x\,{\rm{ = }}\,x\left( {x + 2} \right)$

$\begin{array}{l}b)\;{x^3} - 5{x^2} + 5x - 1 \\= \left( {{x^3} - 1} \right) - \left( {5{x^2} - 5x} \right)\\ = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - 5x\left( {x - 1} \right)\\ = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 - 5x} \right) \\= \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 1} \right).\end{array}$

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

$b)\,\,\dfrac{{4x - 8}}{{x + 5}}:\dfrac{{25 - {x^2}}}{{2x - {x^2}}}$

$= \dfrac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{x + 5}}.\dfrac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {5 + x} \right)\left( {5 - x} \right)}}$

$= \dfrac{{ - 4x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}\left( {5 - x} \right)}}$

$= \dfrac{{4x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}\left( {x - 5} \right)}}.$

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

Bài 3

a) Phân thức $A$được xác định$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne  - 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}b)\,\,A = \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + x}} \\= \dfrac{{x + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{2x + {x^2} - 1 + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}} \\= \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{x + 1}}{x}\end{array}$

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

a)Vì $ABC{\rm{D}}$ là hình vuông (gt)

$\Rightarrow A{\rm{D}}//BC$(tính chất hình vuông)

$\Rightarrow AF//NC$ mà $AF = NC\left( {gt} \right) \Rightarrow ANCF$ là hình bình hành (dhnb)

b)Vì $ABC{\rm{D}}$ là hình vuông (gt)

$\Rightarrow A{\rm{D}}\,{\rm{ = }}\,BC = DC = AB$ (tính chất hình vuông)

Mà $\left\{ \begin{array}{l}AF = NC\\NC = EC\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{AF}}{{A{\rm{D}}}} = \dfrac{{AM}}{{AB}}\\\dfrac{{NC}}{{BC}} = \dfrac{{EC}}{{DC}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}FM//B{\rm{D}}\\EN//B{\rm{D}}\end{array} \right.$ (định lý Ta-let )$\Rightarrow FM//EN$(1)

Xét ${\Delta }AMF$ và ${\Delta }CNE$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}AM = NC\\AF = CE\end{array} \right.\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow {\Delta }AMF = {\Delta }CNE$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow MF = EN$ (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow FMNE$ là hình bình hành (dhnb)

Vì $ABC{\rm{D}}$ là hình vuông (gt) $\Rightarrow B{\rm{D}}$ là phân giác của $\angle ABC$ (tính chất hình vuông)

$\Rightarrow \angle AB{\rm{D}} = \angle DBC$ (tính chất tia phân giác) hay $\angle MB{\rm{D}} = \angle NB{\rm{D}}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AM = NC\\AB = BC\\MB = AB - AM\\BN = BC - NC\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow MB = BN$

Gọi $MN \cap B{\rm{D}} = \left\{ O \right\}$

Xét $\Delta MBO$ và $\Delta NBO$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}MB = BN\,\left( {cmt} \right)\\BO\,chung\,\,\left( {gt} \right)\\\angle MBO = \angle OBN\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \\\Rightarrow \Delta MBO = \Delta NBO\left( {c - g - c} \right) \\\Rightarrow \angle MOB = \angle BON$ (2 góc tương ứng)

Mà $\angle MOB + \angle BON = {180^0}$

$\Rightarrow \angle MOB = \angle BON = {90^0} \Rightarrow BO \bot MN$

Mà $FM//B{\rm{D}} \Rightarrow FM \bot MN \Rightarrow \angle FMN = {90^0}$

Do đó hình bình hành $FMNE$ là hình chữ nhật (dhnb)

c) Gọi $AH$ cắt $C{\rm{D}}$ tại $K$.

Xét ${\Delta }ABF$ có: $\angle ABF + \angle AFB = {90^0}$ (2 góc nhọn phụ nhau)

Xét ${\Delta }AHF$ có: $\angle AFH + \angle FAH = {90^0} \Rightarrow \angle AFB + \angle FAH = {90^0}$ (2 góc nhọn phụ nhau)

$\Rightarrow \angle FAH = \angle ABF$

Xét ${\Delta }ABF$ và ${\Delta }DAK$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}AB = A{\rm{D}}\left( {gt} \right)\\\angle ABF = \angle FAH\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta }ABF = {\Delta }DAK$ (cạnh góc vuông – góc nhọn)

$\Rightarrow AF = DK$ (2 cạnh tương ứng)

Mà $AF = AM\left( {gt} \right) \Rightarrow AM = DK$

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}AB = DC\left( {gt} \right)\\AM = DK\left( {cmt} \right)\\BM = AB - AM\left( {gt} \right)\\CK = DC - DK\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BM = CK$(3)

Mà $AB//DC\left( {gt} \right) \Rightarrow BM//KC$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $MBCK$ là hình bình hành (dhnb)

Lại có, $\angle MBC = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow$ hình bình hành $MBCK$ là hình chữ nhật (dhnb)

$\Rightarrow MC = BK$ (tính chất)

Gọi $Q$ là giao điểm của $MC$ và $BK$$\Rightarrow Q$ là trung điểm của mỗi đường.

Xét ${\Delta }BHK$ có: $QH = \dfrac{{BK}}{2} = \dfrac{{MC}}{2}$ (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

$\Rightarrow \Delta MHC$ vuông tại $H$ (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)$\Rightarrow \angle CHM = {90^0}$

LG bài 5

Lời giải chi tiết:

Vì $x + y = 2$ nên ta có:

$\begin{array}{l}{x^{2017}} + {y^{2017}} \le {x^{2018}} + {y^{2018}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^{2017}} + {y^{2017}}} \right) \le 2\left( {{x^{2018}} + {y^{2018}}} \right)\\ \Leftrightarrow {x^{2018}} + x{y^{2017}} + {x^{2017}}y + {y^{2018}} \le 2{x^{2018}} + 2{y^{2018}}\\ \Leftrightarrow {x^{2018}} - 2{x^{2018}} + x{y^{2017}} + {x^{2017}}y + {y^{2018}} - 2{y^{2018}} \le 0\\ \Leftrightarrow {x^{2018}} + {y^{2018}} - {x^{2017}}y - x{y^{2017}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^{2017}} - {y^{2017}}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - y \ge 0\\{x^{2017}} - {y^{2017}} \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - y \le 0\\{x^{2017}} - {y^{2017}} \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge y\\{x^{2017}} \ge {y^{2017}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le y\\{x^{2017}} \le {y^{2017}}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow$Bất đẳng thức luôn đúng với mọi $x,\;y$ thỏa mãn $x + y = 2.$

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 8 tại Tuyensinh247.com

Loigiaihay.com