Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Đề số 1 - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Câu 1:Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại ${x_{0}}$

A. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f(x + \Delta x) - f({x_0})} \over {\Delta x}}$                       

B. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f(x) - f({x_0})} \over {x - {x_0}}}$

C. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f(x) - f({x_0})} \over {x - {x_0}}}$       

D. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f({x_0} + \Delta x) - f(x)} \over {\Delta x}}$

Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \matrix{3 - \sqrt {4 - x} \,\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr}  \right.$. Khi đó $f'\left( 0 \right)$là kết quả nào sau đây?

A. ${1 \over 4}$

B. ${1 \over {16}}$                                       

C. ${1 \over 2}$                                            

D. 2

Câu 3: Đạo hàm của hàm số $y = {({x^3} - 2{x^2})^{2016}}$là

A. $y' = 2016{({x^3} - 2{x^2})^{2015}}$           

B. $y' = 2016{({x^3} - 2{x^2})^{2015}}(3{x^2} - 4x)$

C. $y' = 2016({x^3} - 2{x^2})(3{x^2} - 4x)$ 

D. $y' = 2016({x^3} - 2{x^2})(3{x^2} - 2x)$

Câu 4: Cho hàm số $f(x) = {{ - 4x - 3} \over {x + 5}}$ Đạo hàm của hàm số trên là

A. $f'(x) =  - {{17} \over {{{(x + 5)}^2}}}$                       

B. $f'(x) =  - {{19} \over {{{(x + 5)}^2}}}$       

C. $f'(x) =  - {{23} \over {{{(x + 5)}^2}}}$       

D.$f'(x) = {{17} \over {{{(x + 5)}^2}}}$

Câu 5: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{\sqrt x } \over x}\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr}  \right.$ Xét hai mệnh đề sau:

(I) Hàm số liên tục tại $x_0=0$

(II) Hàm số không có đạo hàm tại ${x_0} = 0$

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I)                               

B. Chỉ (II)                              

C. Cả 2 đều đúng                   

D. Cả 2 đều sai.

Câu 6: Cho hàm số $f(x) = {1 \over 3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1$ Tập hợp những giá trị của x để $f'(x) = 0$ là

A. $\left\{ { - 2\sqrt 2 } \right\}$                                       

B. $\left\{ {2;\sqrt 2 } \right\}$ 

C. $\left\{ { - 4\sqrt 2 } \right\}$                              

D. $\left\{ {2\sqrt 2 } \right\}$

Câu 7: Cho hàm số $f(x) =  - 2\sqrt x  + 3x$ Để $f'(x) > 0$ thì x nhận các giá trị nào?

A. $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$                              

B. $\left( { - \infty ;{1 \over 9}} \right)$          

C. $\left( {{1 \over 9}; + \infty } \right)$                                          

D. $\emptyset$

Câu 8: Tìm m để hàm số $y = (m - 1){x^3} - 3(m + 2){x^2} - 6(m + 2)x + 1$ có $y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}$

A. $m \ge 1$                       

B. $-2\le m \le 0$                         

C. $m \in \emptyset$                    

D. $m > 1$

Câu 9: Cho hàm số $y = {{\cos 2x} \over {1 - \sin x}}$ Tính $y'\left( {{\pi  \over 6}} \right)$bằng

A.1                                      

B. -1                                      

C. $\sqrt 3$                     

D. $- \sqrt 3$

Câu 10: Hàm số $y = \cot 3x - {1 \over 2}\tan 2x$có đạo hàm là

A. ${{ - 3} \over {{{\sin }^2}3x}} + {1 \over {{{\cos }^2}2x}}$                                  

B. ${{ - 3} \over{{{\sin }^2}3x}} - {1 \over {{{\cos }^2}2x}}$                                

C. ${{ - 3} \over {{{\sin}^2}3x}} - {x \over {{{\cos }^2}2x}}$                            

D. ${{ - 1} \over {{{\sin }^2}x}} - {1 \over {{{\cos }^2}2x}}$

Câu 11: Tìm vi phân của hàm số $y = \sqrt {3x + 2}$

A. $dy = {3 \over {\sqrt {3x + 2} }}dx$                            

B. $dy = {1 \over {2\sqrt {3x + 2} }}dx$         

C. $dy = {1 \over {\sqrt {3x + 2} }}dx$ 

D. $dy = {3 \over {2\sqrt {3x + 2} }}dx$

Câu 12: Cho hàm số $y = {{x + 3} \over {1 - 2x}}$ Vi phân của hàm số trên tại $x = -3$ là

A. $dy = {1 \over 7}dx$    

B. $dy = 7dx$                      

C. $dy = {{ - 1} \over 7}dx$     

D. $dy =  - 7dx$

Câu 13: Hàm số $y = {x \over {x - 2}}$có đạo hàm cấp hai là

A. $y'' = 0$                           

B. $y'' = {1 \over {{{(x - 2)}^2}}}$                                      

C. $y'' =  - {4 \over {{{(x - 2)}^2}}}$                               

D. $y'' = {4 \over {{{(x - 2)}^3}}}$

Câu 14: Cho hàm số $y = f(x)$, có đồ thị (C) và điểm ${M_0}({x_0};f({x_0})) \in (C)$ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₀ là

A. $y = f'(x)(x - {x_0}) + {y_0}$         

B. $y = f'({x_0})(x - {x_0})$

C. $y - {y_0} = f'({x_0})(x - {x_0})$           

D. $y - {y_0} = f'({x_0})x$

Câu 15: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {1 \over {\sqrt {2x} }}$tại điểm $A\left( {{1 \over 2};1} \right)$có phương trình là

A. $2x + 2y =  - 3$               

B. $2x - 2y =  - 1$                

C. $2x + 2y = 3$                     

D. $2x - 2y = 1$        

Câu 16: Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y = {x^4} + x$ Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng $d:x + 5y = 0$có phương trình là             

A. $y = 5x - 3$                     

B. $y = 3x - 5$                      

C. $y = 2x - 3$                        

D. $y = x + 4$

Câu 17: Cho hàm số $y = {{2x + 2} \over {x - 1}}$(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y =  - 4x + 1$

A. $y =  - 4x - 2;y =  - 4x + 14$             

B. $y =  - 4x + 21;y =  - 4x + 14$

C. $y =  - 4x + 2;y =  - 4x + 1$     

D. $y =  - 4x + 12;y =  - 4x + 14$

Câu 18: Cho hàm số $y = {x \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}$ Khi đó $y'(0)$ bằng

A. ${1 \over 2}$                   

B. ${1 \over 3}$                    

C. 1                                        

D. 2

Câu 19: Đạo hàm của hàm số $y = x\sqrt {{x^2} - 2x}$ là

A. $y' = {{2x - 2} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}$                   

B. $y' = {{3{x^2} - 4x} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}$ 

C. $y' = {{2{x^2} - 3x} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}$               

D.$y' = {{2{x^2} - 2x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}$

Câu 20: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định: $f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1} \over x}\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr}  \right.$ Giá trị của $f'\left( 0 \right)$ bằng:

A. ${1 \over 2}$                                            

B. $- {1 \over 2}$                              

C. $- 2$                                  

D. Không tồn tại.

Câu 21: Cho hàm số $f\left( x \right) = {{{x^2} + \left| {x + 1} \right|} \over x}$ Tính đạo hàm của hàm số tại ${x_0} =  - 1$

A. 2                                        

B. 1                                        

C. 0                            

D. Không tồn tại.

Câu 22: Cho hàm số $f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right)$ Tính $f'\left( 0 \right)$?

A. 10000!                               

B. 1000!                                 

C. 1100!                                 

D. 1110!

Câu 23: Hàm số $y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3}$có đạo hàm cấp ba là:

A. $y''' = 12x\left( {{x^2} + 1} \right)$         

B. $y''' = 24x\left( {{x^2} + 1} \right)$                       

C. $y''' = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)$

D. $y''' =  - 12x\left( {{x^2} + 1} \right)$

Câu 24: Giả sử $h\left( x \right) = 5{\left( {x + 1} \right)^3} + 4\left( {x + 1} \right)$ Tập nghiệm của phương trình $h''\left( x \right) = 0$ là:

A. $\left[ { - 1;2} \right]$                              

B. $\left( { - \infty ;0} \right]$                                  

C. $\left\{ { - 1} \right\}$                                 

D. $\emptyset$

Câu 25: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {{2x + 1} \over {x - 1}}$ tại điểm có hoành độ bằng $2$ có hệ số góc $k = ?$

A. $k =  - 1$                          

B. $k =  - 3$                          

C. $k = 3$                             

D. $k = 5$

Lời giải chi tiết

Đáp án:

1C	2A	3B	4A	5B
6D	7C	8C	9D	10B
11D	12A	13D	14C	15C
16A	17A	18A	19C	20A
21D	22B	23C	24C	25B

Câu 1: Đáp án C

Giới hạn (nếu tồn tại) dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$  tại ${x_{^0}}$là: . $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$

Câu 2: Đáp án A

$f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3 - \sqrt {4 - x}  - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{x(2 + \sqrt {4 - x} )}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \dfrac{1}{4}$

Câu 3: Đáp án B

y’ = 2016( x³ - 2x²)²⁰¹⁵(x³ – 2x²)’ = 2016( x³ - 2x²)²⁰¹⁵(3x² -4x)

Câu 4: Đáp án A

$f'(x) = \dfrac{{( - 4x - 3)'(x + 5) - (x + 5)'( - 4x - 3)}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}$

$\;\;\;= \dfrac{{ - 4(x + 5) - ( - 4x - 3)}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}$

$\;\;\;= \dfrac{{ - 4x - 20 + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 17}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}$

Câu 5: Đáp án B

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt x }}{x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} =  + \infty$

Không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)$ nên hàm số không liên tục tại ${x_0} = 0$ nên (I) sai.

Do đó hàm số không có đạo hàm tại ${x_0} = 0$ nên (II) đúng.

Câu 6: Đáp án D

$\begin{array}{l}f'(x) = {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1} \right)^\prime } \\= {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8\\f'(x) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2\sqrt 2 } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 \end{array}$

Vậy $f'(2\sqrt 2 ) = 0$

Câu 7: Đáp án C

$\begin{array}{l}f'(x) = ( - 2\sqrt x  + 3x)' = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} + 3\\f'(x) > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} + 3 > 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} >  - 3\\ \Leftrightarrow \sqrt x  > \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{9}\end{array}$

Vậy $x \in \left( {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right)$

Câu 8: Đáp án C

$\begin{array}{l}y' = \left[ {\left( {m - 1} \right){x^3} - 3\left( {m + 2} \right){x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x + 1} \right]'\\ = 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x - 6\left( {m + 2} \right)\\y' \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x - 6\left( {m + 2} \right) \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m + 2} \right) \ge 0,\forall x \in R\end{array}$

Với $m = 1$ thì $y' =  - 18x - 18 \ge 0 \Leftrightarrow x \le  - 1$ nên không thỏa mãn bài toán.

Do đó

$\begin{array}{l}y' \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\{\left( {m + 2} \right)^2} + 2\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left( {m + 2} \right)\left( {m + 2 + 2m - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left( {m + 2} \right).3m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\ - 2 \le m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \end{array}$  

Do đó không có m thỏa mãn bài toán.

Câu 9: Đáp án D

$y' = \left( {\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin x}}} \right)' \\\;\;\;= \dfrac{{\left( {\cos 2x} \right)'\left( {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right) - \left( {1 - \sin x} \right){\rm{'cos}}2x}}{{{{\left( {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)}^2}}} \\\;\;\;= \dfrac{{ - 2\sin 2x(1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}) + \cos x\cos 2x}}{{{{\left( {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)}^2}}}$

$y'\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{ - 2\sin \dfrac{\pi }{3}\left( {1 - \sin \dfrac{\pi }{6}} \right) + \cos \dfrac{\pi }{6}\cos \dfrac{\pi }{3}}}{{{{\left( {1 - \sin \dfrac{\pi }{6}} \right)}^2}}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{ - 2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right) + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{2}}}{{{{\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)}^2}}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{\dfrac{{ - \sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{1}{4}}} =  - \sqrt 3$

Câu 10: Đáp án B

$y' = \left( {\cot 3x - \dfrac{1}{2}\tan 2x} \right)'$$\;= \left( {\cot 3x} \right)' - \left( {\dfrac{1}{2}\tan 2x} \right)'$$\;=  - \dfrac{3}{{{{\left( {\sin 3x} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {\cos 2x} \right)}^2}}}$

Câu 11: Đáp án D

$dy = d(\sqrt {3x + 2} ) = \left( {\sqrt {3x + 2} } \right)'dx$$\;= \dfrac{3}{{2\sqrt {3x + 2} }}dx$

Câu 12: Đáp án A

$\begin{array}{l}dy = d\left( {\dfrac{{x + 3}}{{1 - 2x}}} \right) \\\;\;\;= {\left( {\dfrac{{x + 3}}{{1 - 2x}}} \right)^\prime }dx \\\;\;\;= \dfrac{{(x + 3)'(1 - 2x) - {{\left( {1 - 2x} \right)}^\prime }(x + 3)}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}dx\\\;\;\; = \dfrac{{1 - 2x + 2(x + 3)}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}dx\\\;\;\; = \dfrac{7}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}dx\end{array}$

Tại x = -3 ta được $dy = \dfrac{7}{{{{\left( {1 - 2.( - 3)} \right)}^2}}}dx = \dfrac{7}{{49}}dx = \dfrac{1}{7}dx$

Câu 13: Đáp án D

$y' = \left( {\dfrac{x}{{x - 2}}} \right)'$

$= \dfrac{{x'(x - 2) - \left( {x - 2} \right)'x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$$\;= \dfrac{{x - 2 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

$y'' = {\left( {\dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right)^\prime }$$=  - 2.\frac{{ - \left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]}^2}}} =  - 2.\frac{{ - 2\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}$ $= \dfrac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}$

Câu 14: Đáp án C

Hàm số $y = f(x)$, có đồ thị (C) và điểm ${M_0}({x_0};f({x_0})) \in (C)$. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₀ là $y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_o}$

Câu 15: Đáp án C

Ta có:

$y' = \left( {\frac{1}{{\sqrt {2x} }}} \right)' =  - \frac{{\left( {\sqrt {2x} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {2x} } \right)}^2}}}$ $=  - \frac{{\frac{2}{{2\sqrt x }}}}{{2x}} =  - \frac{1}{{2x\sqrt {2x} }}$

Suy ra $y'\left( {\frac{1}{2}} \right) =  - \frac{1}{{2.\frac{1}{2}\sqrt {2.\frac{1}{2}} }} =  - 1$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }}$ tại điểm $A\left( {\dfrac{1}{2};1} \right)$là:

$y = f'(\dfrac{1}{2}).(x - \dfrac{1}{2}) + 1$ $=  - 1(x - \dfrac{1}{2}) + 1 =  - x + \dfrac{3}{2}$ hay $2x + 2y = 3$

Câu 16: Đáp án A

(C): y = x⁴ + x            

d: x + 5y=0

Ta có: y’ = 4x³ + 1

Đường thẳng x + 5y = 0$\Leftrightarrow y =  - \frac{1}{5}x$ có hệ số góc k₁ = $- \dfrac{1}{5}$

Vì tiếp tuyến của (C) vuông góc với d nên có hệ số góc k = 5

Ta có: f’(x₀) = 5 $\Leftrightarrow$4x₀³ + 1 = 5 $\Rightarrow$x₀ = 1

Suy ra y₀ = x₀⁴ + x₀ = 1 + 1 = 2

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) là: y = 5(x – 1) + 2 hay y = 5x – 3

Câu 17: Đáp án A

(C): $y = \dfrac{{2x + 2}}{{x - 1}}$

$d:y =  - 4x + 1$

Ta có $y' = \dfrac{{ - 4}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

Đường thẳng $y =  - 4x + 1$ có hệ số góc k = -4

Vì tiếp tuyến của (C) song song với d nên có hệ số góc k = -4

Ta có: f’(x₀) = -4 $\Leftrightarrow$$\dfrac{{ - 4}}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} =  - 4 \Leftrightarrow {({x_0} - 1)^2} = 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0$hoặc ${x_0} = 2$

Với ${x_0} = 0$ thì y₀ = -2

Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = -4x – 2

Với ${x_0} = 2$ thì y₀ = 6

Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = -4(x – 2) + 6 $\Leftrightarrow$y = -4x +14

Vậy tìm được 2 pttt của (C) thỏa mãn bài toán là: y = -4x – 2 và y = -4x + 14

Câu 18: Đáp án A

$\begin{array}{l}y' = {\left( {\dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} \right)^\prime } \\\;\;\;= \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}}  + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}} \\\;\;\;= \dfrac{{4 - {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {{{(4 - {x^2})}^3}} }}\\\;\;\; = \dfrac{4}{{\sqrt {{{(4 - {x^2})}^3}} }}\\y'(0) = \dfrac{4}{{\sqrt {{4^3}} }} = \dfrac{1}{2}\end{array}$

Câu 19: Đáp án C

$y' = (x\sqrt {{x^2} - 2x} )'$

$\;\;\;= \sqrt {{x^2} - 2x}  + \dfrac{{(x - 1)x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}$

$\;\;\;= \dfrac{{{x^2} - 2x + {x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}$

$\;\;\;= \dfrac{{2{x^2} - 3x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}$

Câu 20: Đáp án A

$\begin{array}{l}f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{x}}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{{x^2}}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{(\sqrt {{x^2} + 1}  - 1)(\sqrt {{x^2} + 1}  + 1)}}{{{x^2}(\sqrt {{x^2} + 1}  + 1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}(\sqrt {{x^2} + 1}  + 1)}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}} = \dfrac{1}{2}\end{array}$

Câu 21: Đáp án D

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ -  } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ -  } \dfrac{{{x^2} + 1 - x}}{x}\\ =  - 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ +  } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ +  } \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{x} =  - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ -  } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ +  } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x}\end{array}$

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x₀ = -1

Câu 22: Đáp án B

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right)\\\end{array}$

Đặt  $g(x) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f(x) = x.g(x)\\f'(x) = g(x) - x.g'(x)\\ \Rightarrow f'(0) = g(0)\\= ( - 1).( - 2)...( - 1000) \\= 1.2.....1000 = 1000!\end{array}$

Câu 23: Đáp án C

$\begin{array}{l} y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\\ = {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1\\ y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x\\ y'' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6\\ y''' = 120{x^3} + 72x = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right) \end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l}y' = {\left( {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} \right)^\prime } \\= 3{\left( {{x^2} + 1} \right)^\prime }{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 6x{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\\y'' = {\left( {6x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)^\prime }\\\;\;\; = 6{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 6x{\left( {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)^\prime } \\\;\;\;= \left( {6{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} + 24{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right)\\y''' = \left( {6{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} + 24{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right)' \\\;\;\;= 24x\left( {{x^2} + 1} \right) + 48x\left( {{x^2} + 1} \right) + 48{x^3} \\\;\;\;= 24x({x^2} + 1 + 2\left( {{x^2} + 1} \right) + 2{x^2})\\ \;\;\;= 24x(5{x^2} + 3)\end{array}$

Câu 24: Đáp án C

$\begin{array}{l}h'\left( x \right) = {\left[ {5{{\left( {x + 1} \right)}^3} + 4\left( {x + 1} \right)} \right]^\prime }\\ = 15{\left( {x + 1} \right)^2} + 4\\h''(x) = {\left[ {15{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4} \right]^\prime } = 30\left( {x + 1} \right)\\h''(x) = 0 \Leftrightarrow 30\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 1\end{array}$

Câu 25: Đáp án B

$y' = {\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)^\prime }$

$= \dfrac{{2(x - 1) - (2x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

$y'(2) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} =  - 3$

Loigiaihay.com