Đề kiểm tra 15 phút - Chương 6 - Đề số 4 - Đại số 10

Đề bài

Chọn phương án đúng

Câu 1. Giá trị của biểu thức $S = 3 - {\sin ^2}90^\circ  + 2{\cos ^2}60^\circ  - 3{\tan ^2}45^\circ$ bằng

A. $\dfrac{1}{2}$                           

B. 3                                

C. 1                                

D. $- \dfrac{1}{2}$

Câu 2. Giá trị của biểu thức $S = {\sin ^2}3^\circ  + {\sin ^2}15^\circ  + {\sin ^2}75^\circ  + {\sin ^2}87^\circ$ bằng

A. 1                            

B. 2                                

C. 3                                

D. 4

Câu 3. Cho $\cot \alpha  = 2$ . Giá trị của biểu thức $P = \dfrac{{2\sin \alpha  + 3\cos \alpha }}{{2\sin \alpha  - 3\cos \alpha }}$ bằng

A. $\dfrac{1}{2}$                          

B. $- \dfrac{1}{2}$                          

C. -2                              

D. 2

Câu 4. Nếu $\tan \alpha  + \cot \alpha  =  - 2$ thì ${\tan ^3}\alpha  + {\cot ^3}\alpha$ bằng

A. -4                          

B. -3                              

C. -2                              

D. -1

Câu 5. Giá trị của biểu thức $T = \tan 9^\circ  - \tan 27^\circ  - \tan 63^\circ  + \tan 81^\circ$ bằng

A. $\dfrac{1}{2}$                         

B. $\sqrt 2$                           

C. 2                              

D. 4

Câu 6. Cho $A = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}} + {\cos ^2}\dfrac{{3\pi }}{7}$ . Khi đó, khẳng định nào sao đây đúng

A. $A = 1$                   

B. $A = 2$                         

C. $A = 2{\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}}$        

D. $A = 2{\cos ^2}\dfrac{{3\pi }}{7}$

Câu 7. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \sqrt 3 \cos x$ đạt được khi x bằng

A. $\pi$                            

B. $\dfrac{\pi }{3}$                             

C. $\dfrac{{2\pi }}{3}$                            

D. $- \dfrac{\pi }{6}$

Câu 8. Nếu $\alpha$ là góc nhọn và $\sin 2\alpha  = m$ thì $\sin \alpha  + \cos \alpha$ bằng

A. $\sqrt {m + 1}$                    

B. $- \sqrt {m + 1}$                    

C. $1 + m$                        

D. $-1 – m$

Câu 9. Tam giác ABC có $\cos A = \dfrac{4}{5},cosB = \dfrac{5}{{13}}$ . Khi đó $\cos C$ bằng

A. $\dfrac{{56}}{{65}}$                         

B. $\dfrac{{16}}{{65}}$                             

C. $- \dfrac{{56}}{{65}}$                         

D. $\dfrac{{63}}{{65}}$

Câu 10. Nếu $0^\circ  < \alpha  < 180^\circ$ và $\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{1}{2}$ thì $\tan \alpha  =  - \dfrac{{m + \sqrt n }}{3}$ với cặp số nguyên (m, n) là

A. $(4;7)$                    

B. $(-4;7)$                         

C. $(8;7)$

D. $(8;14)$

Lời giải chi tiết

Câu 1. D

$S = 3 - {\sin ^2}90^\circ  + 2{\cos ^2}60^\circ  - 3{\tan ^2}45^\circ$$\, = 3 - 1 + \dfrac{1}{2} - 3 =  - \dfrac{1}{2}$.

Câu 2. B

$S = {\sin ^2}3^\circ  + {\sin ^2}15^\circ  + {\sin ^2}75^\circ  + {\sin ^2}87^\circ$

$\;\;\; = {\sin ^2}3^\circ  + {\sin ^2}15^\circ  + {\cos ^2}15^\circ  + {\cos ^2}3^\circ  = 2$

Câu 3. C

Ta có $\cot \alpha  = 2 \Rightarrow \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 2$

$\Rightarrow \cos \alpha  = 2\sin \alpha$.

Suy ra

$\begin{array}{l}P = \dfrac{{2\sin \alpha  + 3\cos \alpha }}{{2\sin \alpha  - 3\cos \alpha }}\\ \;\;\;\; = \dfrac{{2\sin \alpha  + 6\sin \alpha }}{{2\sin \alpha  - 6\sin \alpha }}\\ \;\;\;\; = \dfrac{{8\sin \alpha }}{{ - 4\sin \alpha }} =  - 2\end{array}$.

Câu 4. C

${\tan ^3}\alpha  + {\cot ^3}\alpha$

$= {\left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right)^3} - 3\tan \alpha \cot \alpha \left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right)$

$=  - 8 + 6 =  - 2$.

Câu 5. D

Ta có:

$\begin{array}{l}T = \tan 9^\circ  - \tan 27^\circ  - \tan 63^\circ  + \tan 81^\circ \\ \;\;\;\,= \left( {\tan 9^\circ  + \tan 81^\circ } \right) - \left( {\tan 27^\circ  + \tan 63^\circ } \right)\end{array}$

$\;\;\; \;= \dfrac{{\sin 9^\circ \cos 81^\circ  + \sin 81^\circ \cos 9^\circ }}{{\cos 9^\circ \cos 81^\circ }} - \dfrac{{\sin 27^\circ \cos 63^\circ  + \sin 63^\circ \cos 27^\circ }}{{\cos 27^\circ \cos 63^\circ }}$

$\;\;\;\; = \dfrac{{\sin 90^\circ }}{{\dfrac{1}{2}\left( {\cos 90^\circ  + \cos 72^\circ } \right)}} - \dfrac{{\sin 90^\circ }}{{\dfrac{1}{2}\left( {\cos 90^\circ  + \cos 36^\circ } \right)}}$

$\;\;\;\;= \dfrac{2}{{\cos 72^\circ }} - \dfrac{2}{{\cos 36^\circ }}$

$\;\;\;\; = \dfrac{{2\left( {\cos 36^\circ  - \cos 72^\circ } \right)}}{{\cos 72^\circ \cos 36^\circ }}$

$\;\;\;\;= \dfrac{{4\sin 54^\circ \sin 18^\circ }}{{\cos 72^\circ \cos 36^\circ }} = 4$

Câu 6. A

$\begin{array}{l}A = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}} + {\cos ^2}\dfrac{{3\pi }}{7}\\ \;\;\;\;= {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}} + {\sin ^2}\left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{3\pi }}{7}} \right)\\ \;\;\;\;= {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{{14}} = 1\end{array}$.

Câu 7. D

Ta có:

$T = {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - \sqrt 3 \cos x$

$\;\;\;\;= 2\left( {\dfrac{1}{2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right)$

$\begin{array}{l} \;\;\;\;= 2\left( {\cos \dfrac{\pi }{3}{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - \sin \dfrac{\pi }{3}\cos x} \right)\\ \;\;\;\;= 2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\end{array}$

Suy ra T đạt giá trị nhỏ nhất là -2 khi $\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) =  - 1$. Chọn $x =  - \dfrac{\pi }{6}$.

Câu 8. A

Ta có

${\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2}$

$= {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha$

$= 1 + \sin 2\alpha  = 1 + m$.

Do $\alpha$ là góc nhọn nên $\sin \alpha  + \cos \alpha  > 0$.

Vậy $\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt {1 + m}$.

Câu 9. B

Ta có ${\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - \dfrac{{16}}{{25}} = \dfrac{9}{{25}}$.

Mà $\sin A > 0$ nên $\sin A = \dfrac{3}{5}$.

Tương tự $\sin {\bf{B}} = \dfrac{{12}}{{13}}$.

Suy ra

$\cos C =  - \cos \left( {A + B} \right)$

$= \sin A\sin B - \cos A\cos B$

$= \dfrac{{36}}{{65}} - \dfrac{{20}}{{65}} = \dfrac{{16}}{{65}}$.

Câu 10. A

Ta có:

$1 = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha$$= {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\dfrac{1}{2} - \sin \alpha } \right)^2}$$= 2{\sin ^2}\alpha  - \sin \alpha  + \dfrac{1}{4}$

$\Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha  - \sin \alpha  - \dfrac{3}{4} = 0$

$\Leftrightarrow \sin \alpha  = \dfrac{{1 \pm \sqrt 7 }}{4}$

Mà $0^\circ  < \alpha  < 180^\circ$ nên $\sin \alpha  > 0$. Chọn $\sin \alpha  = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}$.

Suy ra $\cos \alpha  = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4} = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}$.

=> $\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }}$$\,= \dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 7 } \right)}^2}}}{{1 - 7}} =  - \dfrac{{4 + \sqrt 7 }}{3}$.

Vậy $\left( {m,n} \right) = \left( {4,7} \right)$.

 Loigiaihay.com