Đề kiểm tra 15 phút - Chương 6 - Đề số 2 - Đại số 10

Đề bài

Chọn phương án đúng

Câu 1. Nếu $\tan \alpha  + \cot \alpha  = 2$ thì ${\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha$ bằng

A. 4                            B. 3             

C. 2                            D. 1

Câu 2. Cho $\cos \alpha  = \dfrac{1}{2}$ . Khi giá trị của biểu thức $P = 3{\sin ^2}\alpha  + 4{\cos ^2}\alpha$ là

A. $\dfrac{7}{4}$                        

B. $\dfrac{1}{4}$                               

C. $7$                                

D. $\dfrac{{13}}{4}$

Câu 3. Giá trị của biểu thức $S = {\cos ^2}1^\circ  + {\cos ^2}12^\circ  + {\cos ^2}78^\circ  + {\cos ^2}89^\circ$

A. 1                          B. 2    

C. 3                          D. 4

Câu 4. Biết $\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{1}{5}$ và $0 \le x \le \pi$ . Khi đó $\tan \alpha$ bằng

A.$- \dfrac{4}{3}$                          

B.$- \dfrac{3}{4}$                          

C.$\pm \dfrac{4}{3}$                          

D. Một giá trị khác

Câu 5. Nếu $\tan \alpha  = \sqrt 7$ thì $\sin \alpha$ bằng

A.$\dfrac{{\sqrt 7 }}{4}$                        

B.$- \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}$                       

C.$- \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}$                      

D.$\pm \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}$

Câu 6. Giá trị của $\dfrac{1}{{\sin 18^\circ }} - \dfrac{1}{{\sin 54^\circ }}$ bằng

A. $\dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{2}$                    

B. $\dfrac{{1 \pm \sqrt 2 }}{2}$                      

C. $2$                               

D. $-2$

Câu 7. Số đo bằng độ của góc $x$ dương nhỏ nhất thỏa mãn $\sin 6x + \cos 4x = 0$ là

A. $9^\circ$                          

B. $18^\circ$                            

C. $27^\circ$

D. $45^\circ$

Câu 8. Cho $\tan x = \dfrac{1}{2},\tan y = \dfrac{1}{3}$ với $x,y \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$  . Khi đó $x + y$ bằng

A. $\dfrac{\pi }{2}$                          

B. $\dfrac{\pi }{3}$                               

C. $\dfrac{\pi }{6}$                           

D. $\dfrac{\pi }{4}$

Câu 9. Nếu $\sin x = 3\cos x$ thì $\sin 2x$ bằng

A. $\dfrac{1}{3}$                          

B. $\dfrac{3}{5}$                                

C. $\dfrac{1}{2}$                            

D. $\dfrac{4}{9}$

Câu 10. Giá trị lớn nhất của biểu thức $F = 6{\cos ^2}x + 6\sin x - 2$ là

A. $\dfrac{{11}}{2}$                        

B. $4$                                

C. $10$                             

D. $\dfrac{3}{2}$

Lời giải chi tiết

Câu 1. C

Ta có

${\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha$

$= {\left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right)^2} - 2\tan \alpha \cot \alpha$

$= 4 - 2 = 2$.

Câu 2. D

$P = 3{\sin ^2}\alpha  + 4{\cos ^2}\alpha$

$\;\;\;\;= 3\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) + 4{\cos ^2}\alpha$

$\;\;\;\;= 3 + {\cos ^2}\alpha  = 3 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{13}}{4}.$

Câu 3. B

$S = {\cos ^2}1^\circ  + {\cos ^2}12^\circ  + {\cos ^2}78^\circ  + {\cos ^2}89^\circ$

$\;\;\; = {\cos ^2}1^\circ  + {\cos ^2}12^\circ  + {\sin ^2}12^\circ  + {\sin ^2}1^\circ$

$\;\;\;  = 2$

Câu 4. A

Ta có:

$1 = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha$

$\;\;\;= {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\dfrac{1}{5} - \sin \alpha } \right)^2}$

$\;\;\;= 2{\sin ^2}\alpha  - \dfrac{2}{5}\sin \alpha  + \dfrac{1}{{25}}$

$\Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha  - \dfrac{2}{5}\sin \alpha  - \dfrac{{24}}{{25}} = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \dfrac{4}{5}\\\sin \alpha  =  - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$

Do $0 \le x \le \pi$ nên $\sin \alpha  \ge 0$. Chọn $\sin \alpha  = \dfrac{4}{5}$.

Suy ra $\cos \alpha  = \dfrac{1}{5} - \dfrac{4}{5} =  - \dfrac{3}{5}$.

Vậy $\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  - \dfrac{4}{3}$.

Câu 5. D

Ta có: $\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + 7 = 8$.

Suy ra ${\cos ^2}\alpha  = \dfrac{1}{8}$. Do đó $\cos \alpha  =  \pm \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}$.

Vậy $\sin \alpha  = \tan \alpha \cos \alpha  =  \pm \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}$.

Câu 6. C

Ta có $\dfrac{1}{{\sin 18^\circ }} - \dfrac{1}{{\sin 54^\circ }} = \dfrac{{\sin 54^\circ  - \sin 18^\circ }}{{\sin 18^\circ \sin 54^\circ }}$$\,= \dfrac{{2\cos 36^\circ \sin 18^\circ }}{{\sin 18^\circ \sin 54^\circ }} = 2$

Câu 7. C

Ta có: $\sin 6x + \cos 4x = 0$

$\Leftrightarrow \sin 6x + \sin \left( {90^\circ  - 4x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 2\sin \left( {x + 45^\circ } \right)\cos \left( {5x - 45^\circ } \right) = 0.$

Với $x = 27^\circ$ thì $5x - 45^\circ  = 90^\circ$ nên $\cos \left( {5x - 45^\circ } \right) = 0.$

Câu 8. D

Ta có: $\tan \left( {x + y} \right) = \dfrac{{{\mathop{\rm tanx}\nolimits}  + \tan y}}{{1 - {\mathop{\rm tanx}\nolimits} {\mathop{\rm tany}\nolimits} }}$$\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}}} = \dfrac{{\dfrac{5}{6}}}{{\dfrac{5}{6}}} = 1$.

Do $x,y \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$ nên $0 < x + y < \pi$. Suy ra $x + y = \dfrac{\pi }{4}$.

Câu 9. B

Ta có $1 = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 9{\cos ^2}x + {\cos ^2}x$$\,= 10{\cos ^2}x$

$\Rightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{1}{{10}}$

Vậy $\sin 2x = 2\sin x\cos x = 6{\cos ^2}x = \dfrac{6}{{10}} = \dfrac{3}{5}.$

Câu 10. A

Ta có:

$F = 6\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 6\sin x - 2$

$\;\;\;= 4 + 6\sin x - 6{\sin ^2}x$

$\;\;\; = 4 - 6\left( {{{\sin }^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)$

$\;\;\;= 4 - 6\left[ {\left( {{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - \dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{1}{4}} \right]$

$\;\;\;= \dfrac{{11}}{2} - 6{\left( {{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$.

Suy ra giá trị lớn nhất của $F$ là $\dfrac{{11}}{2}$ đạt được khi ${\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = \dfrac{1}{2}$.

 Loigiaihay.com