Đề kiểm tra 15 phút - Chương 6 - Đề số 1 - Đại số 10

Đề bài

Câu 1. Không dùng bảng hay máy tính cầm tay, chứng minh rằng

$\sin 15^\circ  + \sin 75^\circ  > 1$ .

Câu 2. Cho $\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{1}{2}$ . Tính ${\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha$

Lời giải chi tiết

Câu 1. Ta có:

${\left( {\sin 15^\circ  + sin75^\circ } \right)^2}$

$= {\left( {\sin 15^\circ  + \cos 15^\circ } \right)^2}$

$\begin{array}{l} = {\sin ^2}15^\circ  + {\cos ^2}15^\circ  + 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ \\ = 1 + \sin 30^\circ  = \dfrac{3}{2} > 1\end{array}$

Mà $\sin 15^\circ  + \sin 75^\circ  > 0$ nên suy ra $\sin 15^\circ  + \sin 75^\circ  > 1$.

Câu 2.

Ta có: $\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = \dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha  = \dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha  =  - \dfrac{3}{8}$

Do đó

$\begin{array}{l}{\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha \\= {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha \cos \alpha \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)\\ = \dfrac{1}{8} + \dfrac{9}{{16}} = \dfrac{{11}}{6}.\end{array}$

Loigiaihay.com