Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đề số 3 - Đại số 10

Đề bài

Câu 1. Giải bất phương trình \(\dfrac{{x + 2}}{{3x + 1}} > \dfrac{{x - 2}}{{2x - 1}}\) .

Câu 2. Xác định \(m\) để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - m \le 0\\mx + 2x - 1 \le 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

Câu 1.

Ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x + 2}}{{3x + 1}} > \dfrac{{x - 2}}{{2x - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 2}}{{3x + 1}} - \dfrac{{x - 2}}{{2x - 1}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} > 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - {x^2} + 8x}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( { - x + 8} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} > 0\end{array}\)

Bảng xét dấu

Bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( { - \dfrac{1}{3};0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};8} \right)\) . 

Câu 2.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - m \le 0\\mx + 2x - 1 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{{m - 1}}{2}{\rm{      (1)}}\\\left( {m + 2} \right)x \le 1{\rm{  (2)}}\end{array} \right.\)

Xét bất phương trình (2) . có ba trương hợp

+) \(m = -2\): (2) trở thành \(0x \le 1\) .Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) . Suy ra hệ có nghiệm là \(x \le \dfrac{-3}{2}\). Suy ra hệ có vô số nghiệm.

+) \(m > -2\): (2) có nghiệm \(x \le \dfrac{1}{{m + 2}}\) . Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{{m - 1}}{2}\\x \le \dfrac{1}{{m + 2}}\end{array} \right.\). Suy ra hệ có vô số nghiệm.

+) \(m < -2\): (2) có nghiệm \(x \ge \dfrac{1}{{m + 2}}\). Suy ra hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(\begin{array}{l}\dfrac{{m - 1}}{2} = \dfrac{1}{{m + 2}} \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 2\\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {17} }}{2}\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(m < -2\) chọn \(m = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{2}\) .

Loigiaihay.com