Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đề số 7 - Đại số 10

Đề bài

Câu 1. Giải phương trình $\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) + 2\sqrt {{x^2} - 7x + 11}  = 4$ .

Câu 2. Xác định các giá trị của tham số $m$ để với mọi $x$ ta có

$- 1 \le \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7$ .

Lời giải chi tiết

Câu 1.

Điều kiện xác định ${x^2} - 7x + 11 \ge 0$.

Ta có

$\begin{array}{l}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) + 2\sqrt {{x^2} - 7x + 11}  = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 11 + 2\sqrt {{x^2} - 7x + 11}  - 3 = 0\end{array}$.

Đặt $t = \sqrt {{x^2} - 7x + 11} ,t \ge 0$. Ta có phương trình

${t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 3\end{array} \right.$.

So với điều kiện chọn nghiệm $t{\rm{ }} = {\rm{ }}1$.

Vây: $\sqrt {{x^2} - 7 + 11}  = 1$

$\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Phương trình có hai nghiệm $x = 2$ và $x = 5.$

Câu 2.

Ta có:  $2{x^2} - 3x + 2 = 2\left( {{x^2} - \dfrac{3}{2}x + 1} \right)$$\;= 2\left[ {{{\left( {x - \dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right] > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

 Do đó: $- 1 \le \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7$

$\Leftrightarrow  - \left( {2{x^2} - 3x + 2} \right) \le {x^2} + 5x + m < 7\left( {2{x^2} - 3x + 2} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m + 2 \ge 0\;(1)\\13{x^2} - 26x + 14 - m > 0\;(2)\end{array} \right.$

Hệ bất phương trình trên đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta _1' \le 0\\\Delta _2' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 3\left( {m + 2} \right) \le 0\\169 - 13\left( {14 - m} \right) < 0\end{array} \right.\\{\rm{            }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - \dfrac{5}{3}\\m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{3} \le m < 1.\end{array}$

Vậy $m \in \left[ { - \dfrac{5}{2};1} \right)$.

Loigiaihay.com