Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức: ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$.

+) Để so sánh a và b ta xét hiệu $a - b$ .

Lời giải chi tiết:

Cho hai biểu thức: $A\, = \,\frac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 1}}$ và $B\, = \,\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}$ với $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

1. Tính giá trị của A khi $x = 4.$

Khi $x = 4$ thì $A\, = \,\frac{{2\sqrt 4  - 4}}{{\sqrt 4  - 1}} = \frac{{2.2 - 4}}{{2 - 1}} = \frac{0}{1} = 0$

2. Rút gọn B.

$\begin{array}{l}B\, = \,\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + \sqrt x  + 3\sqrt x  - 3 - 6\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}$

3. So sánh A.B với 5. 

$\begin{array}{l}A.B - 5 = \frac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - 5 = \frac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  + 1}} - 5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x  - 4 - 5\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{ - 3\sqrt x  - 9}}{{\sqrt x  + 1}}\end{array}$

Có $\sqrt x  \ge 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow  - 3\sqrt x  \le 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow  - 3\sqrt x  - 9 < 0\;\forall x \ge 0$ 

Mặt khác  $\sqrt x  \ge 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 1 > 0\;\forall x \ge 0.$

$\Rightarrow A.B - 5 = \frac{{ - 3\sqrt x  - 9}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\;\;\forall x \ge 0 \Rightarrow \,A.B < 5$

Chọn A.