Phương pháp giải:

Tách ${x^3} = {x^3}.\left[ {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2} - {x^2}} \right]$.

Khử mẫu.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\dfrac{{{x^3}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \\ = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\dfrac{{{x^3}.\left[ {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2} - {x^2}} \right]}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \\ = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^3}.\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)dx} \\ = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^3}.\sqrt {{x^2} + 1} dx}  - \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^4}dx} \\ = \dfrac{{58}}{{15}} - \dfrac{{9\sqrt 3 }}{5} = \dfrac{{58 - 27\sqrt 3 }}{5}\\ \Rightarrow a = 58,b =  - 27,c = 3\\ \Rightarrow a + b - {c^2} = 22\end{array}$