Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Lý Thường Kiệt

Làm bài

Quảng cáo

Câu hỏi 1 :

Tìm số phức z thỏa mãn \({\left( {1 + i} \right)^2}z = 6 + 2i\)

  • A \(1 + 3i\)
  • B \(1 - 3i\)
  • C \(4 - 2i\)
  • D 6

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Chia số phức \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + i} \right)^2}z = 6 + 2i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{6 + 2i}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}} = 1 - 3i\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {4 - x} \), trục hoành, trục tung và đường thẳng x=3.

  • A \(S = \dfrac{{15}}{2}\pi \)
  • B \(S = 14\)
  • C \(S = 42\)
  • D \(S = \dfrac{{14}}{3}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(S = \int\limits_0^3 {\sqrt {4 - x} dx}  = \dfrac{{14}}{3}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Tìm m để \(F\left( x \right) = m{x^3} + \left( {m - 3} \right){x^2} + 5x - 2\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 5\)

  • A \(m =  - 1\)
  • B \(m = 2\)
  • C \(m = 1\)
  • D \(m = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow 3m{x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 3{x^2} - 4x + 5\\ \Leftrightarrow m = 1\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Trong không gian Oxyz, cho ba vecto \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow b  = \left( {3;0; - 1} \right),\)\(\overrightarrow c  = \left( { - 2;5;1} \right)\). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow x  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)

  • A \(\left( {6; - 6;0} \right)\)
  • B \(\left( {0;6; - 6} \right)\)
  • C \(\left( {6;6;0} \right)\)
  • D \(\left( {6;0; - 6} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Công trừ các tọa độ tương ứng.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow x  = \left( {1; - 1;2} \right) + \left( {3;0; - 1} \right) - \left( { - 2;5;1} \right)\)\( = \left( {6; - 6;0} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Tập hợp nghiệm của phương trình \({x^2} + 4x + 5 = 0\) trên tập số phức là

  • A \(\left\{ { - i;i} \right\}\)
  • B \(\left\{ {2 - i;2 + i} \right\}\)
  • C \(\left\{ { - 2 - i; - 2 + i} \right\}\)
  • D \(\left\{ { - 2;2} \right\}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng MTCT

Lời giải chi tiết:

\({x^2} + 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2 + i\\x =  - 2 - i\end{array} \right.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\)

  • A \(I\left( {0; - 3;1} \right),R = 1\)
  • B \(I\left( {0; - 3;1} \right),R = 2\)
  • C \(I\left( {0;3; - 1} \right),R = 2\)
  • D \(I\left( {0;3; - 1} \right),R = 4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Mặt cầu \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\)có tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) bán kính R.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4 = {2^2}\\ =  > I\left( {0; - 3;1} \right),R = 2\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

\(\int {x.\sin x} dx\) bằng

  • A \(x\sin x + \cos x + C\)
  • B \(x\cos x - \sin x + C\)
  • C \(x\cos x + \sin x + C\)
  • D \( - x\cos x + \sin x + C\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Nguyên hàm từng phần.

Đặt \(u = x,dv = \sin xdx\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {x.\sin x} dx =  - \int {xd\left( {\cos x} \right)} \)\( =  - x.\cos x + \int {\cos xdx} \)\( =  - x\cos x + \sin x + C\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} - 2x + m} \right)dx}  = 1\). Tìm giá trị của m

  • A \(m = 3\)
  • B \(m = 2\)
  • C \(m = 1\)
  • D \(m =  - 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} - 2x + m} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {{x^3} - {x^2} + mx} \right)} \right|_0^1 = m \Rightarrow m = 1\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( { - 1;2;3} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;3;1} \right)\). Phương trình của (P) là

  • A \(2x - 3y - z - 11 = 0\)
  • B \( - x + 2y + 3z - 11 = 0\)
  • C \( - 2x + 3y + z = 0\)
  • D \( - 2x + 3y + z - 11 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\):

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( { - 1;2;3} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;3;1} \right)\):

\(\begin{array}{l} - 2\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) + 1.\left( {z - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 2x + 3y + z - 11 = 0\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Tìm môđun của số phức z biết \(\overline z  = \left( {4 - i} \right)\left( {1 + i} \right)\)

  • A 34
  • B \(\sqrt {34} \)
  • C \(\sqrt 6 \)
  • D \(3\sqrt 2 \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|;\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\)

Lời giải chi tiết:

\(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \left| {\left( {4 - i} \right).\left( {1 + i} \right)} \right|\)\( = \left| {4 - i} \right|.\left| {1 + i} \right| = \sqrt {17} .\sqrt 2  = \sqrt {34} \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

\(\int {12{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^5}.{e^x}dx} \) bằng

  • A \(2{\left( {{e^x} - 1} \right)^6} + C\)
  • B \({\left( {{e^x} - 1} \right)^6} + C\)
  • C \({\left( {{e^x} + 1} \right)^6} + C\)
  • D \(2{\left( {{e^x} + 1} \right)^6} + C\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = {e^x} - 1\).

Tìm nguyên hàm theo t.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {e^x} - 1\).

\(dt = {e^x}dx\)

\( \Rightarrow \int {12{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^5}.{e^x}dx}  = \int {12{t^5}dt} \)\( = 2{t^6} + C = 2.{\left( {{e^x} - 1} \right)^6} + C\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng qua hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {2; - 1;5} \right)\).

  • A \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 3}}{2}\)
  • B \(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 5}}{3}\)
  • C \(\dfrac{{x + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 2}}{3} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 2}}\)
  • D \(\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 5}}{8}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm \(\overrightarrow {AB}  = \left( {a;b;c} \right)\).

Phương trình chính tắc của AB đi qua  \(A\left( {{x_0};{y_0};{x_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {a;b;c} \right)\) làm vtcp: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 3;2} \right)\\ \Rightarrow AB:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 3}}{2}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đường cong \(y = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\) và trục hoành. Khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

  • A \(V = \dfrac{{9\pi }}{2}\)
  • B \(V = \dfrac{{17\pi }}{{10}}\)
  • C \(V = \dfrac{{32\pi }}{5}\)
  • D \(V = \dfrac{{81\pi }}{{10}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm hoành độ giao điểm của \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành: a và b.

Thể tích : \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Sử dụng MTCT tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của cong \(y = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\) và trục hoành là 2 và -1.

Thể tích : \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx}  = \dfrac{{81\pi }}{{10}}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Họ nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = 2{e^x} + \sin x\) là

  • A \(F\left( x \right) = 2{e^x} - \cos x + C\)
  • B \(F\left( x \right) =  - 2{e^x} + \cos x + C\)
  • C \(F\left( x \right) = 2{e^x} + \cos x + C\)
  • D \(F\left( x \right) = 2{e^x} - \sin x + C\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int {f\left( x \right)dx}  + \int {g\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(F\left( x \right) = \int {\left( {2{e^x} + \sin x} \right)dx} \)\( = 2\int {{e^x}dx + \int {\sin xdx}  = } \)\(2{e^x} - \cos x + C\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Điểm biểu diễn hình học của số phức \(z = \left( {2 - 3i} \right) - \left( {4{i^4} - 6i} \right)\) là

  • A \(P\left( {2; - 3} \right)\)
  • B \(M\left( { - 2;3} \right)\)
  • C \(N\left( {6;3} \right)\)
  • D \(Q\left( { - 2;9} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng MTCT. Chuyển sang Mode 2.

Lời giải chi tiết:

\(z =  - 2 + 3i \Rightarrow M\left( { - 2;3} \right)\) là điểm biểu diễn

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) và \(N\left( { - 1;2;2} \right)\), đồng thời song song với trục Oy. Phương trình mặt phẳng (P) là

  • A \(x - 2z = 0\)
  • B \(x + 2z - 3 = 0\)
  • C \(2x + z - 3 = 0\)
  • D \(x - 2z + 1 = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tìm

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {NM} \\\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \overrightarrow {NM}  \wedge \overrightarrow {{u_{Oy}}} \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {NM}  = \left( {2; - 2; - 1} \right),\overrightarrow {{u_{Oy}}}  = \left( {0;1;0} \right)\\\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \overrightarrow {NM}  \wedge \overrightarrow {{u_{Oy}}}  = \left( {1;0;2} \right)\\ \Rightarrow \left( P \right):x + 2z - 3 = 0\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Ox và đi qua hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {4; - 6;2} \right)\).

  • A \({\left( {x + 6} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 36\)
  • B \({\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 36\)
  • C \({\left( {x - 7} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 49\)
  • D \({\left( {x + 7} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 49\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}I \in Ox \Rightarrow I\left( {x;0;0} \right)\\A,B \in \left( S \right) \Rightarrow I{A^2} = I{B^2} = {R^2}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I \in Ox \Rightarrow I\left( {x;0;0} \right)\\A,B \in \left( S \right) \Rightarrow I{A^2} = I{B^2} = {R^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + 4 + 9 = {\left( {4 - x} \right)^2} + 36 + 4\\ \Leftrightarrow 6x = 42\\ \Leftrightarrow x = 7 \Rightarrow I\left( {7;0;0} \right)\\ \Rightarrow IA = 7 = R\\ \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 7} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 49\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Hãy tìm giá trị của m để số đo góc giữa hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - \sqrt 2 t\\z = 1 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + s\\y = 1 + \sqrt 2 s\\z = 1 + ms\end{array} \right.\left( {s \in \mathbb{R}} \right)\) bằng \(60^\circ \)

  • A \(m = \dfrac{1}{2}\)
  • B \(m =  - \dfrac{1}{2}\)
  • C \(m =  - 1\)
  • D \(m = 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tìm \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) lần lượt là vtcp của d và d’.

\(\cos \left( {d,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) lần lượt là vtcp của d và d’.

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right),\overrightarrow {u'}  = \left( {1;\sqrt 2 ;m} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  = m - 1\\\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow {u'} } \right| = \sqrt {{m^2} + 3} \end{array}\)

\(\cos \left( {d,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \dfrac{{\left| {m - 1} \right|}}{{2\sqrt {{m^2} + 3} }}\)\( = \cos 60^\circ  = \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {m - 1} \right| = \sqrt {{m^2} + 3} \\ \Leftrightarrow m =  - 1\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = 7\) và \(\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx}  =  - 4\) thì \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng bao nhiêu?

  • A \( - 1\)
  • B 11
  • C 15
  • D 18

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \\\int\limits_a^b {k.f\left( x \right)dx}  = k.\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  - 2.\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} \)\( = 7 + 8 = 15\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {12x\cos xdx}  = a\pi  + b\sqrt 3  + c\). Khi đó a+b-c bằng

  • A -5
  • B -6
  • C 18
  • D 19

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tích phân từng phần.

Đặt \(u = 12x,dv = \cos xdx\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {12x\cos xdx}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {12xd\left( {\sin x} \right)} \\ = \left. {\left( {12x.\sin x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{6}} - 12.\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\sin xdx} \\ = \pi  + 12.\left. {\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{6}}\\ = \pi  + 6\sqrt 3  - 12\\ \Rightarrow a = 1,b = 6;c =  - 12\\ \Rightarrow a + b - c = 1 + 6 + 12 = 19\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 13\) đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu (S) và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. viết phương trình đường thẳng d biết rằng điểm B nằm trên tia Oz.

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 3t\\y = 0\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 0\\z =  - 1 + 3t\end{array} \right.\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 3t\\y = 3t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t\\y = 0\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(B \in Oz \Rightarrow B\left( {0;0;z} \right)\) thay vào (S) tìm z.

Kiểm tra vecto chỉ phương của các đáp án.

Lời giải chi tiết:

\(I\left( { - 2;0;1} \right)\)

\(B \in Oz \Rightarrow B\left( {0;0;z} \right)\) thay vào (S)  ta được:

\(4 + 0 + \left( {z - 1} \right) = 13 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 4\\z =  - 2\end{array} \right.\)

Với

\(\begin{array}{l}z = 4 \Rightarrow IB = \left( {2;0;3} \right)\\ \Rightarrow IB:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 0\\z = 4 + 3t\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\left( {t' - 1} \right)\\y = 0\\z = 4 + 3\left( {t' - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t'\\y = 0\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Họ nguyên hàm \(\int {\dfrac{6}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}dx} \) bằng

  • A \(\dfrac{3}{{3 - 2x}} + C\)
  • B \(\dfrac{6}{{2x - 3}} + C\)
  • C \(\dfrac{6}{{3 - 2x}} + C\)
  • D \(\dfrac{3}{{2x - 3}} + C\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\int {\dfrac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}dx}  =  - \dfrac{1}{{a.\left( {ax + b} \right)}} + C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{6}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}dx}  = 6.\left[ { - \dfrac{1}{{2\left( {2x - 3} \right)}}} \right] + C\\ = \dfrac{3}{{3 - 2x}} + C\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính \(P = z_1^2 + z_2^2\)

  • A \(2{\rm{i}}\)
  • B - 2
  • C \(16{\rm{i}}\)
  • D \( - 16\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{z_1}.{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(P = z_1^2 + z_2^2\)\( = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}.{z_2}\)\( = {\left( { - 2} \right)^2} - 2.10 =  - 16\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \({\rm{A}}(1;0;4),{\rm{B}}(0;1; - 1),{\rm{C}}(3; - 2;5)\). Tìm điểm \({\rm{H}}\) là chân đường cao kẻ từ A của tam giác \({\rm{ABC}}\)

  • A \({\rm{H}}(2; - 1;3)\)
  • B \({\rm{H}}(0;1; - 1)\)
  • C \({\rm{H}}({\rm{l}};0;{\rm{l}})\)
  • D \({\rm{H}}( - 2;3;0)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với BC

=>H là giao điểm của (P) và BC.

\(H \in BC =  > \) tham số hóa H. Thay vào phương trình (P) tìm H.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - 3;6} \right)\)

(P) qua A và vuông góc với BC: \(x - y + 2z - 9 = 0\).

BC qua B và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;2} \right)\) làm vecto chỉ phương nên \(BC:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\)

=>H là giao điểm của (P) và BC.

\( \Rightarrow H\left( {t;1 - t; - 1 + 2t} \right)\). Thay tọa độ H vào (P):

\(\begin{array}{l}t - \left( {1 - t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) - 9 = 0\\ \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow H\left( {2; - 1;3} \right)\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho \(I = \int_e^5 {\dfrac{{\ln x + 3}}{x}} dx = \dfrac{{{{\ln }^2}5}}{2} + a\ln 5 - \dfrac{b}{2}\). Khi đó a+b bằng

  • A 10
  • B -4
  • C 7
  • D -5

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đặt \(\ln x = t\). Đưa về tích phân biến t.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\ln x = t\)

=> \(dt = \dfrac{{dx}}{x}\)

Đổi cận:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{I}} = \int_e^5 {\dfrac{{\ln {\rm{x}} + 3}}{{\rm{x}}}} {\rm{dx = }}\int\limits_1^{\ln 5} {\left( {t + 3} \right)dt} \\ = \dfrac{{{{\ln }^2}5}}{2} + 3\ln 5 - \dfrac{7}{2}\\ \Rightarrow a = 3,b = 7\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (P): \(x - 2y + 2z + 4 = 0\). Viết phương trình của mặt cầu (S).

  • A \({(x + 1)^2} + {y^2} + {(z + 2)^2} = 9\)
  • B \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 2)^2} = 3\)
  • C \({(x + 1)^2} + {y^2} + {(z + 2)^2} = 3\)
  • D \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 2)^2} = 9\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

(S) tiếp xúc với (P) khi \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\)

Lời giải chi tiết:

(S) tiếp xúc với (P) khi \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R = 3\\ \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho tam giác ABC có \({\rm{A}}(1;2; - 1),{\rm{B}}(0; - 1;3),{\rm{C}}( - 2;3;3)\). Tìm tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC.

  • A \({\rm{D}}( - 1;3; - 1)\)
  • B \(D( - 1;1;3)\)
  • C \({\rm{D}}({\rm{l}}; - 3;1)\)
  • D \({\rm{D}}(0;3;1)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính AB, AC. Chứng minh ABC cân tại A.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 3;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {26} \\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;1;4} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {26} \\ \Rightarrow AB = AC\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A.

=>Chân đường phân giác trong góc A là trung điểm của BC.

D là trung điểm của BC.

=>\(D( - 1;1;3)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left| {2x - 4} \right|\), \(f\left( 0 \right) =  - 1,f\left( 4 \right) = 3\). Giá trị biểu thức \(f(1) + f(3)\) bằng bao nhiêu

  • A 6
  • B 2
  • C 3
  • D 0

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tìm 2 hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số ứng với \(x \in \left( { - \infty ;2} \right)\) thì tìm \(f(1)\).

Hàm số ứng với \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\) thì tìm \(f(3)\).

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = \left| {2x - 4} \right| = \left\{ \begin{array}{l}2x - 4khix > 2\\4 - 2xkhix < 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {2x - 4} \right)dx = } {x^2} - 4x + {C_1}\) khi x>2

Và \(f\left( x \right) = \int {\left( {4 - 2x} \right)dx = } 4x - {x^2} + {C_2}\) khi x<2

Do 0<2 nên ta thay x=0 vào \(f\left( x \right) = 4x - {x^2} + {C_2}\)\( \Rightarrow {C_2} =  - 1\)\( \Rightarrow f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 1\).\( \Rightarrow f\left( 1 \right) = 2\)

Do 4>2 nên ta thay x=4 vào \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + {C_1} \Rightarrow {C_1} = 3\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\)

\( \Rightarrow f\left( 3 \right) = 0\)\( \Rightarrow f(1) + f(3) = 2\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho tích phân \(I = \int_0^{\sqrt 3 } {\dfrac{{{x^3}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}} dx = \dfrac{{a + b\sqrt c }}{{15}}\), Khi đó a \( + b - {c^2}\) bằng

  • A 76
  • B 22
  • C 40
  • D 58

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tách \({x^3} = {x^3}.\left[ {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2} - {x^2}} \right]\).

Khử mẫu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\dfrac{{{x^3}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \\ = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\dfrac{{{x^3}.\left[ {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2} - {x^2}} \right]}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \\ = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^3}.\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)dx} \\ = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^3}.\sqrt {{x^2} + 1} dx}  - \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^4}dx} \\ = \dfrac{{58}}{{15}} - \dfrac{{9\sqrt 3 }}{5} = \dfrac{{58 - 27\sqrt 3 }}{5}\\ \Rightarrow a = 58,b =  - 27,c = 3\\ \Rightarrow a + b - {c^2} = 22\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho hai đường thẳng \({{\rm{d}}_1}:\dfrac{{{\rm{x}} - 2}}{1} = \dfrac{{{\rm{y}} - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{{\rm{z}} - 2}}{{ - 1}}\) và \({{\rm{d}}_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} = {\rm{t}}}\\{{\rm{y}} = 3}\\{{\rm{z}} =  - 2 + {\rm{t}}}\end{array}} \right.\). Viết phương trình đường thẳng D là đường vuông góc chung của \({{\rm{d}}_1}\) và \({\rm{d}}\).

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 3t\\z =  - 2 - t\end{array} \right.\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 3t\\y = 1 + 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

VTCP của D: \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]\)

Nếu \({d_1} \bot {d_2}\) thì dựng mặt phẳng (P) qua \({{\rm{d}}_1}\) và vuông góc với\({{\rm{d}}_2}\).

Tìm giao điểm H của (P) với \({{\rm{d}}_2}\)

D đi qua H và nhận \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]\) làm vecto chỉ phương.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({d_1} \bot {d_2}\)

\(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( { - 1; - 2;1} \right)\)

Gọi (P) là mặt phẳng qua \({{\rm{d}}_1}\) và vuông góc với\({{\rm{d}}_2}\).

=> (P) là mặt phẳng qua A(2;1;2) và nhận \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}  = \left( {1;0;1} \right)\) làm vtpt.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( P \right):1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + z - 4 = 0\end{array}\)

H là giao điểm của (P) với \({{\rm{d}}_2}\). Khi đó \(H\left( {t;3; - 2 + t} \right)\). Thay vào (P):

\(t - 2 + t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 3\)\( \Rightarrow H\left( {3;3;1} \right)\)

\(D:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Cho số phức z thỏa mãn \(|{\rm{z}} - 5 + 4{\rm{i}}| = 3\). Giá trị nhỏ nhất của \(|{\rm{z}} - 2 + 8{\rm{i}}|\) bằng

  • A 2
  • B 8
  • C 6
  • D 5

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức: \(\left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \ge \left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right|\)

Lời giải chi tiết:

\(|{\rm{z}} - 2 + 8{\rm{i}}|\)\( = \left| {\left( {z - 5 + 4i} \right) + \left( {3 + 4i} \right)} \right|\)\( \ge \left| {|{\rm{z}} - 5 + 4{\rm{i}}| - \left| {3 + 4i} \right|} \right|\)=2

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng \((\alpha ):x + 2y = 0\) và cắt mặt cầu \((S)\): \({{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} - 2{\rm{x}} + 6{\rm{y}} + 2{\rm{z}} + 2 = 0\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 .Phương trình mặt phẳng (P) là

  • A \(x + 2y - 5 = 0\)
  • B \(x + 2y - 10 = 0\)
  • C \(x + 2y + 10 = 0\)
  • D \(x + 2y = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(I{H^2} + {r^2} = {R^2}\) với IH là khoảng cách từ tâm của (S) đến \(\left( \alpha  \right)\), r là bán kính đường tròn giao tuyến, R là bán kính mặt cầu (S).

Lời giải chi tiết:

\((S)\): \({{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} - 2{\rm{x}} + 6{\rm{y}} + 2{\rm{z}} + 2 = 0\)

=> Tâm \(I\left( {1; - 3; - 1} \right),R = 3\)

Giả sử (P): x+2y+c=0 (\(c \ne 0\))

\(IH = d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 6 + c} \right|}}{{\sqrt 5 }}\)\( = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt 5 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {c - 5} \right| = 5 \Leftrightarrow c = 10\\ \Rightarrow \left( P \right):x + 2y + 10 = 0\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Trong không gian (Oxyz), cho hai điểm \(E(1;3;3),F( - 3;1;1)\). Tìm tọa độ điểm \({\rm{M}}\) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho \({\rm{ME}} + {\rm{MF}}\) nhỏ nhất

  • A \({\rm{M}}( - 4;3;0)\)
  • B \({\rm{M}}( - 3;1;0)\)
  • C \({\rm{M}}(1;3;0)\)
  • D \({\rm{M}}( - 2;3/2;0)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Kiểm tra vị trí tương đối của E và F đối với (Oxy).

Lấy điểm E’ đối xứng E qua (Oxy).

Nhận xét mỗi quan hệ E’M+MF và E’F

Lời giải chi tiết:

Ta có (Oxy) có phương trình : z=0

Do \({z_E},{z_F} > 0\) nên E và F cùng nằm phía so với (Oxy).

Lấy điểm E’ đối xứng E qua (Oxy) nên \(E'\left( {1;3; - 3} \right)\).

Khi đó \(ME + MF = E'M + MF \ge E'F\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(E',M,F\) thẳng hàng.

\(\overrightarrow {E'F}  = \left( { - 4; - 2;4} \right)\). Phương trình đường thẳng E’F: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z =  - 3 - 2t\end{array} \right.\).

M là giao điểm của E’F và (Oxy). Nên \(M\left( {1 + 2t;3 + t; - 3 - 2t} \right)\) thay vào (Oxy) ta được \(t =  - \dfrac{3}{2} \Rightarrow M\left( { - 2;\dfrac{3}{2};0} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Cho hai đường thẳng \({\rm{d}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} = 1 + {\rm{t}}}\\{{\rm{y}} = 2 - {\rm{t}}}\\{{\rm{z}} =  - 2 - 2{\rm{t}}}\end{array}} \right.\) và \({{\rm{d}}^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} = 2 + {\rm{s}}}\\{{\rm{y}} = 1 - {\rm{s}}}\\{{\rm{z}} = 1}\end{array}} \right.\). Chọn câu đúng

  • A d cắt d’
  • B d song song d’
  • C d trùng d’
  • D d và d’ chéo nhau.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Giải phương trình giao điểm của d và d’.

Lời giải chi tiết:

Giả sử M là giao điểm của d và d’.

Khi đó

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{x}}_M} = 1 + {\rm{t = 2 + s}}}\\{{{\rm{y}}_M} = 2 - {\rm{t = 1 - s}}}\\{{{\rm{z}}_M} =  - 2 - 2{\rm{t = 1}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{3}{2}\\s =  - \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)

=> d cắt d’

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ thì bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol có hình bên. Biết rằng sau 15 giây thì xe đạt đến vận tốc cao nhất \(60m/s\) và bắt đầu giảm tốc độ. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đi được quãng đường bao nhiêu mét?

  • A \(700m\)
  • B \(1200m\)
  • C \(500m\)
  • D \(600m\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm hàm số v(t) dựa vào đồ thị.

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^t {v\left( t \right)dt} \) là quãng đường xe đi được đến thời điểm t.

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị ta thấy, \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = 15\\a{.15^2} + b.15 + c = 60\\c = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{4}{{15}}\\b = 8\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow v\left( t \right) =  - \dfrac{4}{{15}}{t^2} + 8t\end{array}\)

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^t {v\left( t \right)dt} \) là quãng đường xe đi được đến thời điểm t.

\( \Rightarrow s\left( {15} \right) = \int\limits_0^{15} {v\left( t \right)dt}  = 600\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

(1đ ) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {\tan x} ,y = 0,x = 0,x = \dfrac{\pi }{4}\) quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích vật tròn xoay được sinh ra.

Phương pháp giải:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

Thể tích vật tròn xoay được sinh ra là:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\left( {\sqrt {\tan x} } \right)}^2}dx} \\ = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\tan xdx} \\ = \pi .\left. {ln\left| {\cos x} \right|} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = \pi .\ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Câu hỏi 37 :

(1đ) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\) và \({z^2}\) là số thuần ảo?

Phương pháp giải:

Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

\(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Số thuần ảo là số có phần thực bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

\(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\).

\({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2ab.i\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 0\)

Khi đó a và b là nghiệm của hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\\{a^2} - {b^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 1\\a = b =  - 1\\a = 1,b =  - 1\\a =  - 1.b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + i\\z =  - 1 - i\\z = 1 - i\\z =  - 1 + i\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 4 số phức thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu hỏi 38 :

(1đ) Trong không gian vối hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - z - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):x + y + z - 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Phương pháp giải:

+) Tìm điểm chung của (P) và (Q): Cho  z=0. Thay vào 2 phương trình tìm x và y.

+) Vecto chỉ phương của giao tuyến là: \(\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right]\)

Lời giải chi tiết:

Cho \(z = 0\). Thay vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - z - 3 = 0\\x + y + z - 1 = 0\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {2; - 1;0} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {2; - 3;1} \right)\)

Phương trình đường thẳng giao tuyến của (P) và (Q) đi qua M và nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {2; - 3;1} \right)\) làm vecto chỉ phương: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 1 - 3t\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Xem thêm

Quảng cáo
close