Phương pháp giải:

Bấm máy tính Casio giải phương trình bậc hai.

Lời giải chi tiết:

\({z^2} - 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Điểm thuộc Oz có dạng M(0;0;z)

Lời giải chi tiết:

Đáp án A:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {3^2}\end{array}\)

Mặt cầu có tâm \(I\left( {0;0; - 1} \right) \in Oz\)

Phương pháp giải:

Hình chiếu của \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) lên mặt phẳng Oxy là \(M'\left( {{x_0};{y_0};0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(A'\left( {1; - 2;0} \right)\)

Phương pháp giải:

\(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}} = \frac{{\left( {a + bi} \right).\left( {c - di} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I =  - \int\limits_0^1 {x.d\left( {{e^{1 - x}}} \right)} \\ = \left. { - \left( {x.{e^{1 - x}}} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {{e^{1 - x}}dx} \\ =  - 1 - \left. {\left( {{e^{1 - x}}} \right)} \right|_0^1\\ =  - 1 - \left( {1 - e} \right) = e - 2\end{array}\)

Phương pháp giải:

Chia đa thức tử cho mẫu.

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx}  = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\left( {{x^3} + \frac{x}{{1 + {x^2}}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {{x^4}} \right)} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} + \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{xdx}}{{1 + {x^2}}}}  = 0 + \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} \\ = \left. {\ln \left| {{x^2} + 1} \right|} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = 0\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)

Lời giải chi tiết:

\({z_1} + {z_2} = \left( {3 + 2} \right) + \left( {2 - 1} \right)i = 5 + i\)

Phương pháp giải:

Đường thẳng qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vtcp \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình:

\(d:\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right) = \left( {2; - 5;3} \right)\)

Phương pháp giải:

Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\)

Lời giải chi tiết:

\(\overline z  = m - 7i\)

Phương pháp giải:

\(\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = \frac{1}{a}.\sin \left( {ax + b} \right) + C\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {\cos } (5x - 4)dx\)\( = \frac{1}{5}\sin (5x - 4) + C\)

Phương pháp giải:

\(ax + by + cz + d = 0\) có vtpt \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\overline {{n_2}}  = (4; - 3;0)\)

Phương pháp giải:

Trung điểm của A, B có tọa độ:\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\y = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\z = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{2 - 4}}{2} =  - 1\\{y_M} = \frac{{0 + 2}}{2} = 1\\{z_M} = \frac{{ - 3 - 1}}{2} =  - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( { - 1;1; - 2} \right)\)

Phương pháp giải:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {{x^2} - 2021} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 3}^4 {\left( {2021 - {x^2}} \right)dx}  = \frac{{42350}}{3}\end{array}\)

Phương pháp giải:

Chuyển phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) thành phương trình chính tắc:

\(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\)

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\)

Phương pháp giải:

\(\frac{{a + bi}}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}i\)

Lời giải chi tiết:

\(z = \frac{{9 - 8i}}{2} = \frac{9}{2} - \frac{8}{2}i = \frac{9}{2} - 4i\)

Phần thực : \(\frac{9}{2}\)

Phần ảo:-4

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y + 2} \right) - 4\left( {z - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y - 4z + 14 = 0\end{array}\)

Phương pháp giải:

Mặt cầu: \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = {3^2}\\ =  > I\left( {0;1; - 2} \right);R = 3\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{6}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {{{\sin }^2}3xdx}  = \pi .\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{6}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\frac{{1 - cox6x}}{2}dx} \\ = \pi \left. {\left( {\frac{x}{2} - \frac{{\sin 6x}}{2}} \right)} \right|_{\frac{{ - \pi }}{6}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = \frac{{ - \pi }}{{12}} + \frac{{11{\pi ^2}}}{{24}}\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int {f\left( x \right)dx}  + \int {g\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int {\left( {\sin x + \frac{1}{x}} \right)dx}  = \int {\sin xdx}  + \int {\frac{{dx}}{x}} \\ =  - \cos x + \ln \left| x \right| + C\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right)\)\( = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)

\(k.\left( {a + bi} \right) = ka + kb.i\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}z = 5{z_1} - 2{z_2}\\ = 5.\left( {4 - 7i} \right) - 2.\left( { - 3 + 5i} \right)\\ = 26 - 45i\end{array}\)

Phần ảo là -45.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần. \(u = x + 1\)

\(\int {\cos xdx}  = \sin x + C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int {(x + 1)} \sin xdx =  - \int {(x + 1)} d\left( {\cos x} \right)\\ =  - \left( {x + 1} \right)\cos x + \int {\cos xdx} \\ =  - \left( {x + 1} \right)\cos x + \sin x + C\end{array}\)

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng chính tắc qua 3 điểm \(A\left( {{x_A};0;0} \right),B\left( {0;{y_B};0} \right),C\left( {0;0;{z_C}} \right)\): \(\frac{x}{{{x_A}}} + \frac{y}{{{y_B}}} + \frac{z}{{{z_C}}} = 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{4} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x - 4y + 3z - 12 = 0\)

Phương pháp giải:

\(\left( P \right)||\Delta  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( P \right)||\Delta  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0\\ \Leftrightarrow 1.\left( {2m + 1} \right) - 1.1 + 2.\left( { - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m = 2\end{array}\)

Phương pháp giải:

Phần diện tích dưới trục Ox mang dấu “-”. Trên trục Ox mang dấu “+”

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị ta thấy,

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_a^d {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{a + 3i}}{{{a^2} + 9}}\)

Phần thực là \(\frac{a}{{{a^2} + 9}}\)

Phương pháp giải:

\(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Lời giải chi tiết:

\(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + 12} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng MT Casio tìm nghiệm phương trình.

Lời giải chi tiết:

\({z^2} + 6z + 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - 3 + 2i\\z =  - 3 - 2i\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {z_0} =  - 3 + 2i\)\( \Rightarrow 1 - {z_0} = 4 - 2i\)

Điểm biểu diễn số phức là \(P\left( {4; - 2} \right)\)

Phương pháp giải:

\(z.\overline z  = {\left| z \right|^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(w = z\bar z = {\left| z \right|^2} = {3^2} + {b^2} = {b^2} + 9\)

Phương pháp giải:

Tìm z.

\(\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}z - 2 - 2i = 1 - 6i\\ \Leftrightarrow z = 1 - 6i + 2 + 2i\\ \Leftrightarrow z = 3 - 4i\end{array}\)

Phần thực là 3, phần ảo là -4.

Phương pháp giải:

\(\left| {z - {z_0}} \right| = R\) là đường tròn tâm I (điểm biểu diễn \({z_0}\)) bán kính R.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}|z - 6i + 8| = 25\\ \Leftrightarrow \left| {z - \left( { - 8 + 6i} \right)} \right| = 25\\ \Rightarrow I\left( { - 8;6} \right);R = 25\\ \Rightarrow a + b + R\\ =  - 8 + 6 + 25 = 23\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(2\sin x\cos x = \sin 2x\)

\(\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} \)\( =  - \frac{1}{a}.\cos \left( {ax + b} \right) + C\)

Lời giải chi tiết:

\(\int 2 \sin x\cos xdx = \int {\sin 2xdx}  =  - \frac{1}{2}.\cos 2x + C\)

Phương pháp giải:

\(\int_a^b f (x)dx = \int_a^d f (x)dx - \int_b^d f (x)dx\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int_a^b f (x)dx\\ = \int_a^d f (x)dx - \int_b^d f (x)dx\\ = 5 - 2 = 3\end{array}\)

Phương pháp giải:

Diện tích giới hạn bởi hai đồ thị: \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Đặt \(x = a\sin t\) để tính tích phân \(I = \int\limits_a^b {\sqrt {{a^2} - {x^2}} dx} \)

\({\cos ^2}t = \frac{{1 + \cos 2t}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là nghiệm của phương trình:

\(12 - 4x = 4\sqrt {9 - {x^2}}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} =  > S = \int\limits_0^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_0^3 {\left( {4\sqrt {9 - {x^2}}  + 4x - 12} \right)dx} \\ = 4\int\limits_0^3 {\sqrt {9 - {x^2}} dx}  + \left. {\left( {2{x^2} - 12x} \right)} \right|_0^3\\ = 4I - 18\end{array}\)

\(I = \int\limits_0^3 {\sqrt {9 - {x^2}} dx} \)

Đặt \(x = \sin t\)

\(dx = \cos tdt\)

Đổi cận:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {3.\left| {\cos t} \right|.3\cos tdt} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {9{{\cos }^2}tdt} \\ = \frac{9}{2}.\left. {\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{9\pi }}{4}\\ \Rightarrow S = 9\pi  - 18 \Rightarrow a = 9;b =  - 18\\ \Rightarrow T = 63\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\)

Lời giải chi tiết:

\(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {10}  \Rightarrow A = 20\)

Phương pháp giải:

Tìm z. Chia hai số phức:

\(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}z = \frac{{3 + 5i}}{{2 - i}} = \frac{1}{5} + \frac{{13}}{5}i\\ \Rightarrow a = \frac{1}{5},b = \frac{{13}}{5}\end{array}\)

Phương pháp giải:

Tìm dt theo dx.

Đổi cận x sang t.

Lời giải chi tiết:

\(t = \tan x =  > dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\)

Đổi cận:

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \int\limits_0^1 {tdt} \)

Phương pháp giải:

\(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)\)\( = \frac{{\left| {a.{x_0} + b.{y_0} + c.{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 1\\ =  > \left( S \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 1\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\left( P \right) \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ||\overrightarrow {{u_d}} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;2; - 1} \right)\\ =  > \left( P \right):3x + 2y - z + 1 = 0\end{array}\)

Phương pháp giải:

Tính \(\overrightarrow {BC} \).

\(\overrightarrow u  = \overrightarrow {BC} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = \overrightarrow {BC}  = \left( {2;3; - 1} \right)\\ =  > \frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\end{array}\)

Phương pháp giải:

\({\rm{ABCD}}\) là hình bình hành\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

Lời giải chi tiết:

\({\rm{ABCD}}\) là hình bình hành\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 =  - 3\\y - 1 =  - 5\\z + 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow D\left( {1; - 4;3} \right)\)

Phương pháp giải:

Tìm đường thẳng NN’ qua N và vuông góc với (P).

Giao điểm H của NN’ là trung điểm của NN’

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}NN':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 1 - 5t\\z =  - 3 + 2t\end{array} \right.\\H = NN' \cap \left( P \right)\\ \Rightarrow H\left( {2 + 4t;1 - 5t; - 3 + 2t} \right)\end{array}\)

\(H \in \left( P \right)\)\( =  > 4.\left( {2 + 4t} \right) - 5\left( {1 - 5t} \right)\)\( + 2\left( { - 3 + 2t} \right) - 42 = 0\)

\(\begin{array}{l} =  > t = 1 =  > H\left( {6; - 4; - 1} \right)\\ =  > N'\left( {10; - 9;1} \right)\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\int {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) + C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{F^\prime }(x) = f(x)\\ =  > \int {f\left( x \right)dx}  = \int {{F^\prime }(x)dx}  = F\left( x \right) + C\end{array}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức: \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \ge \left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|\)

Lời giải chi tiết:

\(\left| {z - 6 + 8i} \right| \ge \left| z \right| - \left| { - 6 + 8i} \right|\)\( = \left| z \right| - 10\)

\(\begin{array}{l} =  > \left| z \right| - 10 \le 4 \Leftrightarrow \left| z \right|\\ =  > \max P = 14\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AD} .\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {0; - 2;4} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 4; - 2} \right)\)

\(D \in Oy \Rightarrow D\left( {0;y;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \left( { - 2;y - 1;1} \right)\)

\(\begin{array}{l}V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AD} .\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 5\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AD} .\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 30\end{array}\)

Nếu \(\overrightarrow {AD} .\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = 30\) thì

\(\begin{array}{l}\left( { - 2} \right).0 + \left( {y - 1} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 30\\ \Leftrightarrow y =  - 7 =  > D\left( {0; - 7;0} \right)\end{array}\)

Nếu \(\overrightarrow {AD} .\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] =  - 30\) thì

\(\begin{array}{l}\left( { - 2} \right).0 + \left( {y - 1} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) =  - 30\\ \Leftrightarrow y = 8 \Rightarrow D\left( {0;8;0} \right)\end{array}\)

Phương pháp giải:

Thay tọa độ A, B vào  phương trình (P). Tìm b và mối liên hệ giữa a và c.

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A,B \in \left( P \right)\\ =  > \left\{ \begin{array}{l}3a - 2b + 6c - 2 = 0\\b - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - 2c\\b = 2\end{array} \right.\end{array}\)

(P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của (S) tới (P) lớn nhất, tức là \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,AB} \right)\).

\(\begin{array}{l}d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {c + 4} \right|}}{{\sqrt {{c^2} + {{\left( {2 - 2c} \right)}^2} + 4} }}\\ = d\left( {I,AB} \right) = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow {\left( {c + 4} \right)^2} = 5\left( {5{c^2} - 8c + 8} \right)\\ \Leftrightarrow c = 1 \Rightarrow a = 0 =  > T = 3\end{array}\)

Phương pháp giải:

Đường phân giác của 2 đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có vtcp là:

\(\overrightarrow u  = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|}} + \frac{{\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;4;0} \right);\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1; - 2;2} \right)\)

\(\overrightarrow u  = \frac{{\overrightarrow {{u_d}} }}{5} + \frac{{\overrightarrow {{u_\Delta }} }}{3} = \left( {\frac{4}{{15}};\frac{{22}}{{15}};\frac{{ - 2}}{3}} \right)\)

Chọn vecto chỉ phương cho đường phân giác là \(\left( {2;11; - 5} \right)\).

Ta thấy điểm A thuộc cả 2 đường thẳng nên thuộc đường phân giác, tức là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + 11t\\z =  - 5t\end{array} \right.\)

Đặt \(t = t' - 1\), khi đó ta có đường phân giác: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y =  - 10 + 11t}\\{z = 6 - 5t}\end{array}} \right.\)

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi\) thay vào phương trình tìm z.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\)

\(\begin{array}{l}2z + \bar z = (5 - 2i) \cdot (1 - i)\\ \Leftrightarrow 2\left( {a + bi} \right) + a - bi = 3 - 7i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left| z \right| = 5\sqrt 2 \end{array}\)

Phương pháp giải:

Chia đa thức tử cho đa thức mẫu.

Đưa phân thức bậc nhất trên bậc hai về dạng \(\frac{A}{{x - {x_1}}} + \frac{B}{{x - {x_2}}}\) với \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của mẫu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int_0^1 {\frac{{{x^2} - 3}}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx\\ = \int_0^1 {\left[ {1 + \frac{{ - 3x - 5}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]} dx\\ = 1 - \int_0^1 {\left[ {\frac{{2\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]} dx\\ = 1 - \int\limits_0^1 {\left( {\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} \\ = 1 - \ln 2 - \ln 3\\ \Rightarrow a = 1,b =  - 1,c =  - 1\\ =  > a + b + c =  - 1\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\left| {\sin x} \right| = \sin x\) khi \(x \in \left( {0;\pi } \right)\)

\(\left| {\sin x} \right| =  - \sin x\) khi \(x \in \left( {\pi ;2\pi } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int_0^{2\pi } | \sin x|dx\\ = \int_0^\pi  {\left| {\sin x} \right|} dx + \int_\pi ^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|} dx\\ = \int_0^\pi  {\sin } xdx - \int_\pi ^{2\pi } {\sin } xdx\end{array}\)

Phương pháp giải:

Thể mặt cầu: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)

Tọa độ hóa các điểm trên ABCD tính hình.

Lập hàm số của BC: x(y).

Sử dụng công thức tính thể tích quay xung quanh trục Oy:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}\left( y \right)dy} \)

Lời giải chi tiết:

Thể nửa mặt cầu: \({V_c} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {.4^3} = \frac{{128\pi }}{3}\)

Điểm \(E\left( {0;0} \right)\), tia EB là Ox.

Khi đó B(4;0), C(1;-8)

\(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3; - 8} \right)\). Đường thẳng BC:

\(\begin{array}{l}8\left( {x - 4} \right) - 3y = 0\\ \Leftrightarrow 8x - 3y - 24 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( y \right) = \frac{{3y}}{8} + 4\end{array}\)

Thể tích của hình nón cụt tạo bởi EFCB quanh trục Oy là:

\({V_{NC}} = \pi \int\limits_{ - 8}^0 {{x^2}\left( y \right)dy} \)\( = \pi \int\limits_{ - 8}^0 {{{\left( {\frac{{3y}}{8} + 4} \right)}^2}dy}  = 56\pi \)

=> \(V = \frac{{128\pi }}{3} + 56\pi \)\( = \frac{{296\pi }}{3} \in \left( {305;315} \right)\)