Phương pháp giải:

- Đưa hàm số về dạng phương trình bậc nhất ẩn \(m\): \(Am + B = 0\), tìm điều kiện để phương trình nghiệm đúng \(A = B = 0\), từ đó xác định điểm cố định \(M\) mà đường thẳng \(d\) đi qua.

- Sử dụng định lí đường vuông góc và đường xiên, chứng minh \(d\left( {O;d} \right) \le OM\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow OM \bot d\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + 4m\\ \Leftrightarrow mx - x + 4m - y = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)m - x - y = 0\end{array}\)

Phương trình trên đúng với mọi \(m\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\ - x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 4\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( {4; - 4} \right)\,\,\forall m\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \(d\), ta có \(d\left( {O;d} \right) = OH \le OM\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Do đó khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(d\) đạt GTLN khi và chỉ khi

\(d\left( {O;d} \right) = OM = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 0} \right)}^2}}  = 4\sqrt 2 \).

Chọn C.