Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm $M\left( {1; - 1} \right)$ vào phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ để tìm $m.$

Lời giải chi tiết:

Ta có điểm $M\left( {1; - 1} \right)$ thuộc đường thẳng  $\left( d \right):\,\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + \frac{1}{2}{m^2} + m$ nên thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ ta được:

$\begin{array}{l} - 1 = \left( {m - 1} \right).1 + \frac{1}{2}{m^2} + m \Leftrightarrow \frac{1}{2}{m^2} + m + m - 1 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}m\left( {m + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4\end{array} \right..\end{array}$

Vậy$m = 0,\,\,m =  - 4$ thỏa mãn bài toán.

Chọn D.