Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân.

Khi đổi từ biến $x$ sang biến $t$ ta cần đổi cận.

Từ đó ta tìm được hàm số $f\left( t \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $I = \int\limits_0^3 {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {x + 1} }}dx}$

Đặt $t = \sqrt {x + 1}$ $\Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow dx = 2tdt$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 3 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow I = \int\limits_0^2 {\dfrac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}2tdt}$ $= 2\int\limits_0^2 {\dfrac{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}{{t + 1}}tdt}$$= 2\int\limits_0^2 {t\left( {t - 1} \right)dt = 2\int\limits_0^2 {\left( {{t^2} - t} \right)dt} }$

$\Rightarrow f\left( t \right) = 2\left( {{t^2} - t} \right) = 2{t^2} - 2t.$

Chọn C.