Phương pháp giải:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(3x-3=y\Rightarrow 3dx=dy\Leftrightarrow dx=\frac{dy}{3}\)

Đổi cận:

\(I=\int\limits_{1}^{4}{f(3x-3)dx}=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{9}{f(y)dy}=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{9}{f(x)dx=\frac{1}{3}.9=3}\)

Chọn: B.

Phương pháp giải:

\(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\)

Lời giải chi tiết:

\(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{dx}{x-3}}=\left. \ln \left| x-3 \right| \right|_{1}^{e}=\ln \left| e-3 \right|-\ln 2=\ln \frac{3-e}{2}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\int\limits_1^3 {\frac{1}{{2x + 3}}dx} = \left. {\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right|} \right|_1^3\\
= \frac{1}{2}\left( {\ln 9 - \ln 5} \right) = \ln 3 - \frac{1}{2}\ln 5\\
\Rightarrow n = 1;\,\,\,m = - \frac{1}{2}\\
\Rightarrow P = m - n = - \frac{1}{2} - 1 = - \frac{3}{2}
\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\frac{1}{{{x}^{2}}-x-12}=\frac{1}{\left( x-4 \right)\left( x+3 \right)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+3}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\frac{1}{{{x}^{2}}-x-12}=\frac{1}{\left( x-4 \right)\left( x+3 \right)}=\frac{1}{7}\left( \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+3} \right)\)

\(\Rightarrow I=\frac{1}{7}\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+3} \right)dx}=\left. \frac{1}{7}\ln \left| \frac{x-4}{x+3} \right| \right|_{0}^{1}=\frac{1}{7}\left( \ln \frac{3}{4}-\ln \frac{4}{3} \right)=\frac{1}{7}\ln \frac{9}{16}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx}  = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} \right| - \ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_0^1 = \left. {\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_0^1 = \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln 2 - \ln 3 + \ln 2 = 2\ln 2 - \ln 3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = 2 - 2 = 0\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{x^3} + 1} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 1}  \Leftrightarrow {t^2} = {x^3} + 1 \Leftrightarrow 2tdt = 3{x^2}dx \Leftrightarrow {x^2}dx = {2 \over 3}tdt\)

Đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 1 \hfill \cr   x = 2 \Rightarrow t = 3 \hfill \cr}  \right.\), khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^3 {{{2{t^2}} \over 3}dt}  = \left. {{2 \over 3}.{{{t^3}} \over 3}} \right|_1^3 = 6 - {2 \over 9} = {{52} \over 9}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {1 + 3\ln x}  \Leftrightarrow {t^2} = 1 + 3\ln x \Leftrightarrow 2tdt = {3 \over x}dx \Rightarrow {{dx} \over x} = {2 \over 3}tdt\)

Đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 1 \Rightarrow t = 1 \hfill \cr   x = e \Rightarrow t = 2 \hfill \cr}  \right.\), khi đó ta có: \(I = {2 \over 3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt}  \Rightarrow \) Đáp án A sai.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 9} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^4 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 9} dx}  = \int\limits_0^4 {{x^2}\sqrt {{x^2} + 9} xdx} \)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 9}  \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 9 \Leftrightarrow tdt = xdx\) và \({x^2} = {t^2} - 9\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 3 \hfill \cr   x = 4 \Rightarrow t = 5 \hfill \cr}  \right.\) . Khi đó ta có:

\(I = \int\limits_3^5 {\left( {{t^2} - 9} \right)t.tdt}  = \int\limits_3^5 {\left( {{t^2} - 9} \right){t^2}dt} \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {1 + x} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {1 + x}  \Leftrightarrow {t^2} = 1 + x \Leftrightarrow 2tdt = dx\) và \(x = {t^2} - 1\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 1 \hfill \cr   x = 3 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr}  \right.\), khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^2 {{{{t^2} - 1} \over {1 + t}}2tdt}  = \int\limits_1^2 {2t\left( {t - 1} \right)dt}  = \int\limits_1^2 {\left( {2{t^2} - 2t} \right)dt}  \Rightarrow f\left( t \right) = 2{t^2} - 2t\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đặt \(u = \sqrt {1 - {x^2}} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^1 {{x^5}\sqrt {1 - {x^2}} dx}  = \int\limits_0^1 {{x^4}\sqrt {1 - {x^2}} xdx} \)

Đặt \(u = \sqrt {1 - {x^2}}  \Leftrightarrow {u^2} = 1 - {x^2} \Leftrightarrow udu =  - xdx\) và \({x^2} = 1 - {u^2}\)

Đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow u = 1 \hfill \cr   x = 1 \Rightarrow u = 0 \hfill \cr}  \right.\), khi đó ta có: \(I =  - \int\limits_1^0 {{{\left( {1 - {u^2}} \right)}^2}{u^2}du = \int\limits_0^1 {{u^2}{{\left( {1 - {u^2}} \right)}^2}du} } \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết tích phân \(\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)\,\text{d}x}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\,\text{d}x}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=5+2=7.\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 4}} {{{dx} \over {{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}}  = \int\limits_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 4}} {{{4dx} \over {{{\sin }^2}2x}}}  = \left. { - 2\cot 2x} \right|_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 4}} =  - 2\left( {0 - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) = {2 \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 0 \hfill \cr   b = {2 \over 3} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow a - b =  - {2 \over 3}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

 \(I = \int\limits_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 6}} {\left( {\sin 2x - \cos 3x} \right)dx}  = \left. {\left( { - {{\cos 2x} \over 2} - {{\sin 3x} \over 3}} \right)} \right|_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 6}} = {{ - 7} \over {12}} - {1 \over 6} =  - {3 \over 4}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(\int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{kx}}dx}=\frac{1}{k}{{e}^{kx}}+C\)

Lời giải chi tiết:

\(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}dx}=\frac{1}{3}\left. {{e}^{3x}} \right|_{0}^{1}=\frac{{{e}^{3}}-1}{3}\)

Chọn: C

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tích phân \(\int\limits_a^b {\left[ {\alpha f\left( x \right) \pm \beta g\left( x \right)} \right]dx}  = \alpha \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \beta \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  - 2\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx}  = 2 - 2.5 =  - 8\)

CHỌN C

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tích phân.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx = 0} ;\,\,\,\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( y \right)dy} ;\\\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} } \end{array} \right.\)  nên B, C, D đúng.

A sai vì tích phân một tích không bằng tích các tích phân.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng tích chất của tích phân : Với \(a<b<c\) ta có : \(\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx=}\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)dx.}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(I=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\,\text{d}x}+\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\,\text{d}x}-\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=5-1=4.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân.

Khi đổi từ biến \(x\) sang biến \(t\) ta cần đổi cận.

Từ đó ta tìm được hàm số \(f\left( t \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int\limits_0^3 {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {x + 1} }}dx} \)

Đặt \(t = \sqrt {x + 1} \) \( \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow dx = 2tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 3 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {\dfrac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}2tdt} \) \( = 2\int\limits_0^2 {\dfrac{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}{{t + 1}}tdt} \)\( = 2\int\limits_0^2 {t\left( {t - 1} \right)dt = 2\int\limits_0^2 {\left( {{t^2} - t} \right)dt} } \)

\( \Rightarrow f\left( t \right) = 2\left( {{t^2} - t} \right) = 2{t^2} - 2t.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân để chọn đáp án đúng: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} \)\( = 2019 + 2020 = 4039.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_0^1 {3f\left( x \right)dx}  = 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 3.3 = 9.} \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_1^2 {2f\left( x \right)dx}  = 2\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = 2.3 = 6.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm của tích phân để chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;\,\,b} \right].\)

Khi đó ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}  = 2 + 3 = 5.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất ta có:  \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 2 + 6 = 8\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b\)\( = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) với \(F\left( x \right)\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^1\)\( = F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_0^m {\left( {2x - 1} \right)dx}  = 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_0^m = 2 \Leftrightarrow {m^2} - m = 2\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - 5} \right)dx}  = \left. {\left( {{x^2} - 5x} \right)} \right|_0^1 = \left( {1 - 5} \right) - 0 =  - 4.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

 +) Đổi cận từ x sang u.

+) Áp dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp để tính \(du\) và thế vào biểu thức \(f\left( x \right)\) lấy tích phân.

Lời giải chi tiết:

Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & x=1\Rightarrow u=1 \\ & x=e\Rightarrow u=2 \\ \end{align} \right..\)

Ta có: \(u=\sqrt{1+3\ln x}\Rightarrow {{u}^{2}}=1+3\ln x\Rightarrow \ln x=\frac{{{u}^{2}}-1}{3}.\)

\(\begin{align} & u=\sqrt{1+3\ln x}\Rightarrow du=\left( \sqrt{1+3\ln x} \right)'dx=\frac{\left( 1+3\ln x \right)'}{2\sqrt{1+3\ln x}}dx=\frac{3}{2x\sqrt{1+3\ln x}}dx. \\ & \Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{1+3\ln x}}dx=\frac{2}{3}du \\ \end{align}\) \(\Rightarrow \int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+3\ln x}}}dx=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{u}^{2}}-1}{3}.\frac{2}{3}du=\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du.}}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đặt \(t=\ln x\), sử dụng công thức \(\ln ab=\ln a+\ln b\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{dx}{x\ln x\ln ex}}=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{dx}{x\ln x\left( 1+\ln x \right)}}\)

Đặt \(t=\ln x\Leftrightarrow dt=\frac{dx}{x}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = e \Leftrightarrow t = 1\\x = {e^2} \Leftrightarrow t = 2\end{array} \right.\), khi đó

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{{t\left( {t + 1} \right)}}}  = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)dx}  = \left. {\left( {\ln \left| t \right| - \ln \left| {t + 1} \right|} \right)} \right|_1^2 = \left. {\ln \left| {\frac{t}{{t + 1}}} \right|} \right|_1^2\\\,\,\, = \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln \frac{4}{3} = \ln \frac{a}{b} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a - b = 1\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}-3}\), sau đó tính tích phân đã cho và sử dung phương pháp đổi biến một lần nữa, khi xuất hiện dạng \(\frac{1}{{{t}^{2}}+{{a}^{2}}}\) ta đặt \(t=a\tan \alpha \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}-3}\Leftrightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}-3\Leftrightarrow tdt=xdx\) và \({{x}^{2}}={{t}^{2}}+3\)

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 \Leftrightarrow t = 1\\x = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow t = 3\end{array} \right.\), khi đó ta có :

\(I=\int\limits_{2}^{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}xdx}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-3}}}=\int\limits_{1}^{3}{\frac{\sqrt{3}tdt}{\left( {{t}^{2}}+3 \right)t}}=\sqrt{3}\int\limits_{1}^{3}{\frac{dt}{{{t}^{2}}+3}}\)

Đặt \(t=\sqrt{3}\tan \alpha \Leftrightarrow dt=\frac{\sqrt{3}}{{{\cos }^{2}}\alpha }d\alpha =\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}\alpha  \right)d\alpha \)

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}t = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{6}\\t = 3 \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\) , khi đó ta có : \(I=\sqrt{3}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}\alpha  \right)d\alpha }{3{{\tan }^{2}}\alpha +3}}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{d\alpha }=\left. \alpha  \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{\pi }{6}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đặt \(u={{x}^{2}}-1\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u={{x}^{2}}-1\Leftrightarrow du=2xdx\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Leftrightarrow t = 0\\x = 2 \Leftrightarrow t = 3\end{array} \right.\) , khi đó \(I=\int\limits_{0}^{3}{\sqrt{u}du}=\int\limits_{0}^{3}{{{u}^{\frac{1}{2}}}du}=\left. \frac{2}{3}{{u}^{\frac{3}{2}}} \right|_{0}^{3}=\frac{2}{3}{{.3}^{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{3}\sqrt{27}\)

Vậy khẳng định A sai.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t=\cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin 2x\cos x}{1+\cos x}dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{2\sin x{{\cos }^{2}}x}{1+\cos x}dx}\)

Đặt \(t=\cos x\Leftrightarrow dt=-\sin xdx\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow t = 1\\x = \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow t = 0\end{array} \right.\) , khi đó

\(I=-2\int\limits_{1}^{0}{\frac{{{t}^{2}}dt}{1+t}}=2\int\limits_{0}^{1}{\left( t-1+\frac{1}{1+t} \right)dt}=\left. 2\left( \frac{{{t}^{2}}}{2}-t+\ln \left| 1+t \right| \right) \right|_{0}^{1}=2\left( \frac{-1}{2}+\ln 2 \right)=-1+2\ln 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} a=1 \\  b=2 \\ \end{align} \right.\) 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Đặt \({{x}^{2}}+9=t\Rightarrow 2xdx=dt\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}dt\).

Đổi cận:

Khi đó, ta có: \(I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=}\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\ln tdt}=\frac{1}{2}\left[ \left. t.\ln \left| t \right| \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{td(\ln t)} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{t.\frac{1}{t}dt} \right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{dt} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\left. t \right|_{9}^{25} \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( 25\ln 25-9\ln 9 \right)-(25-9) \right]=25\ln 5-9\ln 3-8\)

Suy ra, \(a=25,\,b=-9,\,c=-8\Rightarrow T=a+b+c=8\)

Chọn: C.

Phương pháp giải:

- Tính tích phân vế trái theo b , từ đó được phương trình ẩn b .

- Giải phương trình đó ta tìm được b , sử dụng điều kiện \(b\in \left( \pi ;3\pi  \right)\) để tìm b .

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_{\pi }^{b}{4\cos 2xdx=1}\Leftrightarrow 2\int\limits_{\pi }^{b}{\cos 2xd(2x)=1}\Leftrightarrow 2\sin \left. 2x \right|_{\pi }^{b}=1\Leftrightarrow 2\sin 2b-2\sin 2\pi =1\Leftrightarrow \sin 2b=\frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2b = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2b = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\b = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,\,\,\,\,k \in \)

+) \(b=\frac{\pi }{12}+k\pi ,\,\,\,\,k\in \mathbb{Z}\)

\(b\in \left( \pi ;3\pi  \right)\Leftrightarrow \pi <\frac{\pi }{12}+k\pi <3\pi \Leftrightarrow \frac{11}{12}<k<\frac{35}{12}\Rightarrow k\in \left\{ 1;2 \right\}\)

\(\Rightarrow \)Có \(2\) giá trị của b thỏa mãn.

+) \(b=\frac{5\pi }{12}+k\pi ,\,\,\,\,k\in \mathbb{Z}\)

\(b\in \left( \pi ;3\pi  \right)\Leftrightarrow \pi <\frac{5\pi }{12}+k\pi <3\pi \Leftrightarrow \frac{7}{12}<k<\frac{31}{12}\Rightarrow k\in \left\{ 1;2 \right\}\)

\(\Rightarrow \)Có \(2\) giá trị của b thỏa mãn.

Vậy có tất cả \(4\) số nguyên b thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn: C.

Phương pháp giải:

Bậc tử lớn hơn bậc mẫu \(\Rightarrow \) Chia tử cho mẫu.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {3x + 11 + \frac{{21}}{{x - 2}}} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{3{x^2}}}{2} + 11x + 21\ln \left| {x - 2} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^0 = 21\ln 2 + \frac{{19}}{2} - 21\ln 3 = 21\ln \frac{2}{3} + \frac{{19}}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 21\\b = \frac{{19}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = 21 + 19 = 40\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

\(\frac{1}{{{x}^{2}}+3x+2}=\frac{1}{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}\) , đồng nhất hệ số tìm hằng số A, B và sử dụng công thức \(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\)

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 2 - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}\\ \Rightarrow \int\limits_4^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}}}  = \int\limits_4^5 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx}  = \left. {\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_4^5 = \ln \frac{6}{7} - \ln \frac{5}{6} = \ln \frac{{36}}{{35}}\\ = \ln 36 - \ln 35\\ = 2\ln 6 - \left( {\ln 5 + \ln 7} \right)\\ = 2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5 - \ln 7\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c =  - 1\\d =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow ab + cd = 4 + 1 = 5\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Mẫu chứa nghiệm bội, phân tích \(\frac{3x+1}{{{x}^{2}}+2x+1}=\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{A}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\frac{B}{x+1}\) , đồng nhất hệ số tìm A, B.

+) Sử dụng các công thức \(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C;\int{\frac{1}{{{\left( ax+b \right)}^{2}}}}=-\frac{1}{a}.\frac{1}{ax+b}+C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^0 {\frac{{3x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}dx}  = \int\limits_1^0 {\frac{{3x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx}  = \int\limits_1^0 {\frac{{3x + 3 - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx}  = \int\limits_1^0 {\frac{3}{{x + 1}}dx}  - 2\int\limits_1^0 {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \\ = \left. {\left( {3\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{2}{{x + 1}}} \right)} \right|_1^0 = 2 - 3\ln 2 - 1 = 1 - 3\ln 2\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

\({{t}^{2}}+t+1={{\left( t+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\) , đặt \(t+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan x\)

Lời giải chi tiết:

\(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dt}{{{t}^{2}}+t+1}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dt}{{{\left( t+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}}}\)

Đặt \(x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan x\Leftrightarrow dt=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)dx\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\\t = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\), khi đó ta có \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)dx}{\frac{3}{4}\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)}}=\left. \frac{2}{\sqrt{3}}t \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{\pi }{6}=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phân tích \({{\left( \frac{x-1}{x+2} \right)}^{2}}={{\left( 1-\frac{3}{x+2} \right)}^{2}}=1-\frac{6}{x+2}+\frac{9}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {{{\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right)}^2}dx}  = \int\limits_1^2 {{{\left( {1 - \frac{3}{{x + 2}}} \right)}^2}dx}  = \int\limits_1^2 {\left( {1 - \frac{6}{{x + 2}} + \frac{9}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {x - 6\ln \left| {x + 2} \right| - \frac{9}{{x + 2}}} \right)} \right|_1^2 = 2 - 6\ln 4 - \frac{9}{4} - 1 + 6\ln 3 + 3\\ = 6\ln \frac{3}{4} + \frac{7}{4}\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {3x + 4} \), sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {3x + 4}  \Leftrightarrow {t^2} = 3x + 4 \Leftrightarrow 2tdt = 3dx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr   x = 7 \Rightarrow t = 5 \hfill \cr}  \right.\)

Khi đó ta có: \(I = 3\int\limits_0^7 {{e^{\sqrt {3x + 4} }}dx}  = 2\int\limits_2^5 {{e^t}.tdt} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = t \hfill \cr   dv = {e^t}dt \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  du = dt \hfill \cr   v = {e^t} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow I = 2\left[ {\left. {t.{e^t}} \right|_2^5 - \int\limits_2^5 {{e^t}dt} } \right] = 2\left[ {\left. {t.{e^t}} \right|_2^5 - \left. {{e^t}} \right|_2^5} \right] = 2\left[ {5{e^5} - 2{e^2} - {e^5} + {e^2}} \right] = 2\left( {4{e^5} - {e^2}} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 8 \hfill \cr   b =  - 8 \hfill \cr  c = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow a + b + c = 0\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {1 + {x^3}} \).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {1 + {x^3}}  \Leftrightarrow {t^2} = 1 + {t^3} \Leftrightarrow {x^3} = {t^2} - 1\)

\( \Rightarrow 3{x^2}dx = 2tdt \Leftrightarrow {x^2}dx = {2 \over 3}tdt\)

Đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 1 \Leftrightarrow t = \sqrt 2  \hfill \cr   x = 2 \Leftrightarrow t = 3 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow I = \int\limits_1^2 {{{dx} \over {x\sqrt {1 + {x^3}} }}}  = \int\limits_1^2 {{{{x^2}dx} \over {{x^3}\sqrt {1 + {x^3}} }}}  = \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {{{{2 \over 3}tdt} \over {\left( {{t^2} - 1} \right)t}}}  = {2 \over 3}\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {{{dt} \over {{t^2} - 1}}}  = {1 \over 3}\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\left( {{1 \over {t - 1}} - {1 \over {t + 1}}} \right)dt} \)

Vậy đáp án D sai.

Chọn D. 

Phương pháp giải:

Từ \(\int\limits_0^3 {f\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx}  = 8\), đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {x + 1} \).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow {t^2} = x + 1 \Leftrightarrow 2tdt = dx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 1 \hfill \cr   x = 3 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr}  \right.\), khi đó ta có:

\(I = \int\limits_1^2 {f\left( t \right)2tdt}  = 2\int\limits_1^2 {xf\left( x \right)dx}  = 8 \Leftrightarrow I = \int\limits_1^2 {xf\left( x \right)dx}  = 4\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{e^x} + 3} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 3}  \Leftrightarrow {t^2} = {e^x} + 3 \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr   x = b \Rightarrow t = \sqrt {{e^b} + 3}  \hfill \cr}  \right.\) , khi đó ta có:

\(I = \int\limits_2^{\sqrt {{e^b} + 3} } {{{2tdt} \over t}}  = \left. {2t} \right|_2^{\sqrt {{e^b} + 3} } = 2\sqrt {{e^b} + 3}  - 4 = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{e^b} + 3}  = 3 \Leftrightarrow {e^b} + 3 = 9 \Leftrightarrow {e^b} = 6 \Leftrightarrow b = \ln 6 \in \left( {1;2} \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đặt \(x = \sqrt 3 \sin t\) (hoặc \(x = \sqrt 3 \cos t\))

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x = \sqrt 3 \sin t \Leftrightarrow dx = \sqrt 3 \cos tdt\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr   x = \sqrt 3  \Rightarrow t = {\pi  \over 2} \hfill \cr}  \right.\), khi đó ta có:

\(\eqalign{  & I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\sqrt {3 - 3{{\sin }^2}t} .\sqrt 3 \cos tdt}  = 3\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}tdt}   \cr   &  = 3\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{1 + \cos 2t} \over 2}dt}  = \left. {{3 \over 2}\left( {t + {{\sin 2t} \over 2}} \right)} \right|_0^{{\pi  \over 2}} = {3 \over 2}.{\pi  \over 2} = {{3\pi } \over 4} \cr} \)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đặt \(t = {{\sqrt {1 + {x^2}} } \over x}\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {{\sqrt {1 + {x^2}} } \over x} \Leftrightarrow {t^2}{x^2} = 1 + {x^2} \Leftrightarrow {x^2}\left( {{t^2} - 1} \right) = 1 \Rightarrow {x^2} = {1 \over {{t^2} - 1}} \Rightarrow 2xdx = {{ - 2t} \over {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}}}dt\)

\( \Rightarrow {{dx} \over x} = {{ - tdt} \over {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}}}.\left( {{t^2} - 1} \right) = {{ - tdt} \over {{t^2} - 1}}\)

Đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2  \hfill \cr   x = \sqrt 3  \Rightarrow t = {2 \over {\sqrt 3 }} \hfill \cr}  \right.\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}
I = - \int\limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} {\frac{{{t^2}dt}}{{{t^2} - 1}}} = \int\limits_{\frac{2}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 2 } {\left( {1 + \frac{1}{{{t^2} - 1}}} \right)dt} \\
= \left( {\sqrt 2 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) + \int\limits_{\frac{2}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 2 } {\frac{1}{{{t^2} - 1}}dt} \\
= \left( {\sqrt 2 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) + \left. {\frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|} \right|_{\frac{2}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 2 }\\
= \left( {\sqrt 2 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\ln \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) - \ln \left( {7 - 4\sqrt 3 } \right)} \right)\\
= \sqrt 2 - \frac{2}{{\sqrt 3 }} + \ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right) - \ln \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\\
= \sqrt 2 - \frac{2}{{\sqrt 3 }} + \ln \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 3 }}
\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức tính tích phân: \(\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\frac{dx}{ax+b}}=\left. \frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right| \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{2x+1}}=\left. \frac{1}{2}\ln \left| 2x+1 \right| \right|_{0}^{4}=\frac{1}{2}\ln \left| 2.4+1 \right|=\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3.\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Đặt \(t=\sqrt{3x+1}\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=3x+1\Leftrightarrow 2tdt=3dx\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{align}   x=0\Leftrightarrow t=1 \\   x=1\Leftrightarrow t=2 \\ \end{align} \right.\), khi đó ta có:  \(\int\limits_{0}^{1}{3{{e}^{\sqrt{3x+1}}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{{{e}^{t}}.2tdt}=2\int\limits_{1}^{2}{t{{e}^{t}}dt}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = {e^t}dt\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = {e^t}\end{array} \right. \Rightarrow 2\int\limits_1^2 {t{e^t}dt}  = 2\left( {\left. {t{e^t}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {{e^t}dt} } \right) = 2\left( {\left. {t{e^t}} \right|_1^2 - \left. {{e^t}} \right|_1^2} \right) = 2\left( {2{e^2} - e - \left( {{e^2} - e} \right)} \right) = 2{e^2}\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  a=10 \\   b=c=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow P=a+b+c=10\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tách \(\cos x = {1 \over 2}\left( {\cos x + \sin x + \cos x - \sin x} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{\cos x} \over {\sin x + \cos x}}dx}  = {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{\cos x + \sin x + \cos x - \sin x} \over {\sin x + \cos x}}dx}   \cr   &  = {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {dx}  + {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)'} \over {\sin x + \cos x}}dx}  = {1 \over 2}.{\pi  \over 4} + \left. {{1 \over 2}\ln \left| {\sin x + \cos x} \right|} \right|_0^{{\pi  \over 4}}  \cr   &  = {\pi  \over 8} + {1 \over 2}\ln \sqrt 2  = {\pi  \over 8} + {1 \over 4}\ln 2 \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = {1 \over 8} \hfill \cr   b = {1 \over 4} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {a \over b} = {{{1 \over 8}} \over {{1 \over 4}}} = {1 \over 2} \cr} \)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)

Đặt ẩn phụ \(t = \sin x\)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {\sin x\sin 2xdx}  = 2\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{\sin }^2}x\cos xdx} \)

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr   x = {\pi  \over 4} \Rightarrow t = {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow I = 2\int\limits_0^{{{\sqrt 2 } \over 2}} {{t^2}dt}  = \left. {{{2{t^3}} \over 3}} \right|_0^{{{\sqrt 2 } \over 2}} = {2 \over 3}{\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^3} = {2 \over 3}.{{2\sqrt 2 } \over 8} = {1 \over 6}\sqrt 2  \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 1 \hfill \cr   b = 6 \hfill \cr   c = 2 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c = 35\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({1 \over {{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\)

Đặt ẩn phụ \(t = \tan x\)

Lời giải chi tiết:

\({{{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^4}x}} = {{{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}}.{1 \over {{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right).{1 \over {{{\cos }^2}x}}\)

Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}\) , đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr   x = {\pi  \over 3} \Rightarrow t = \sqrt 3  \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{t^2}\left( {{t^2} + 1} \right)dt}  = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\left( {{t^4} + {t^2}} \right)dt}  = \left. {\left( {{{{t^5}} \over 5} + {{{t^3}} \over 3}} \right)} \right|_0^{\sqrt 3 } = {{9\sqrt 3 } \over 5} + \sqrt 3  = {{14} \over 5}\sqrt 3  \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 14 \hfill \cr   b = 5 \hfill \cr   c = 3 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow abc = 210\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x + \cos x\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x + \cos x \Rightarrow dt = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx,\) đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = {\pi  \over 6} \Rightarrow t = {{1 + \sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr   x = {\pi  \over 4} \Rightarrow t = \sqrt 2  \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_{{{1 + \sqrt 3 } \over 2}}^{\sqrt 2 } {{{ - dt} \over t}}  = \left. { - \ln \left| t \right|} \right|_{{{1 + \sqrt 3 } \over 2}}^{\sqrt 2 } =  - \ln \sqrt 2  + \ln {{1 + \sqrt 3 } \over 2} = \ln {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} = \ln {{\sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 4}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính a: Tách \({\sin ^3}x = \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin x\) sau đó đặt \(t = \cos x\)

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính b

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & a = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{4{{\sin }^3}x} \over {1 + \cos x}}dx}  = 4\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin x} \over {1 + \cos x}}dx}  = 4\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\left( {1 - \cos x} \right)\sin xdx}  =  - 4\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\left( {1 - \cos x} \right)d\left( {\cos x} \right)}   \cr   & \,\,\, =  - \left. {4\left( {\cos x - {{{{\cos }^2}x} \over 2}} \right)} \right|_0^{{\pi  \over 2}} = 2  \cr   & b = \int\limits_{{\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 3}} {\left( {\sin 2x + \cos x} \right)dx}  = \left. {\left( { - {{\cos 2x} \over 2} + \sin x} \right)} \right|_{{\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 3}} = {{1 + 2\sqrt 3 } \over 4} - {3 \over 2} = {{2\sqrt 3  - 5} \over 4}  \cr   &  \Rightarrow P = a + 2b\sqrt 3  = {{10 - 5\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow \left\{ \matrix{  m = 10 \hfill \cr   n = 5 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow m - n = 5 \cr} \)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = {\pi  \over 3} \Rightarrow t = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr   x = {\pi  \over 6} \Rightarrow t = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_{{{\sqrt 3 } \over 2}}^{{1 \over 2}} {{{dt} \over {{t^2}}}}  = \left. { - {1 \over t}} \right|_{{{\sqrt 3 } \over 2}}^{{1 \over 2}} =  - 2 + {2 \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2\sqrt 3  + 2} \over {\sqrt 3 }} = {{ - 6 + 2\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow \left\{ \matrix{  a =  - 6 \hfill \cr   b = 2 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow a + 2b =  - 2\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(\int\limits_{{}}^{{}}{\cos xdx}=\sin x+C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  = \sin \left. x \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} = \sin \frac{\pi }{2} - \sin \frac{\pi }{3} = 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2} = a + b\sqrt 3 ,(a,b \in Q)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow T = 2a + 6b = 2.1 + 6.\frac{{ - 1}}{2} =  - 1\end{array}\)

Chọn: C

Phương pháp giải:

Đặt \(x = 2t + 1\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x = 2t + 1 \Leftrightarrow dx = 2dt\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 3 \Leftrightarrow t = 1\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( {2t + 1} \right)2dt}  = 2\int\limits_0^1 {f\left( {2x + 1} \right)dx}  = 4 \Leftrightarrow I = \int\limits_0^1 {f\left( {2x + 1} \right)dx}  = 2\)

Chọn C.  

Phương pháp giải:

Sử dụng MTCT.

Lời giải chi tiết:

Sử dụng MTCT ta tính được

 \( \Rightarrow I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x}}{{{6^x} + 1}}dx}  = \frac{5}{{32}}\pi  = \frac{{a\pi }}{b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 32\end{array} \right. \Rightarrow \left| {a - b} \right| = 27\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp từng phần hoặc máy tính casio để tính tích phân

Lời giải chi tiết:

Đặt\(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {1 + x} \right)\\
{\rm{d}}v = {\rm{d}}x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = \frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 1}}\\
v = x
\end{array} \right.,\) khi đó \(I=\left. x.\ln \left( 1+x \right) \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{x\text{d}x}{x+1}}=2.\ln 3-\ln 2-\int\limits_{1}^{2}{\frac{x}{x+1}\text{d}x}.\)

Ta có \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{x}{x+1}\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{x+1-1}{x+1}\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\left( 1-\frac{1}{x+1} \right)\text{d}x}=\left. \left( x-\ln \left| x+1 \right| \right) \right|_{1}^{2}=2-\ln 3-1+\ln 2=1+\ln 2-\ln 3\)

Vậy \(I=2.\ln 3-\ln 2-\left( 1+\ln 2-\ln 3 \right)=3.\ln 3-2.\ln 2-1=\ln \frac{27}{4}-1.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {3x + 1} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {3x + 1}  \Leftrightarrow {t^2} = 3x + 1 \Leftrightarrow 2tdt = 3dx \Rightarrow dx = {{2tdt} \over 3}\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 1 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr   x = 5 \Rightarrow t = 4 \hfill \cr}  \right.\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow I = \int\limits_1^5 {{{dx} \over {x\sqrt {3x + 1} }}}  = \int\limits_2^4 {{{{{2tdt} \over 3}} \over {{{{t^2} - 1} \over 3}.t}}}  = 2\int\limits_2^4 {{{dt} \over {{t^2} - 1}}}  = \int\limits_2^4 {\left( {{1 \over {t - 1}} - {1 \over {t + 1}}} \right)dt}   \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\ln \left| {{{t - 1} \over {t + 1}}} \right|} \right|_2^4 = \ln {3 \over 5} - \ln {1 \over 3} = \ln 3 - \ln 5 + \ln 3 = 2\ln 3 - \ln 5  \cr   &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 2 \hfill \cr   b =  - 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow P = {a^2} + ab + 3{b^2} = {2^2} - 2 + 3{\left( { - 1} \right)^2} = 5. \cr} \)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = x \hfill \cr   dv = {e^x}dx \hfill \cr}  \right.\Rightarrow \left\{ \matrix{  du = dx \hfill \cr   v = {e^x} \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. {x.{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx}  = e - \left. {{e^x}} \right|_0^1 = e - \left( {e - 1} \right) = 1.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \ln x\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = {{dx} \over x}\). Đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 1 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr   x = e \Rightarrow t = 1 \hfill \cr}  \right.\).

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {{t^2}dt}  = \left. {{{{t^3}} \over 3}} \right|_0^1 = {1 \over 3}\)

Chọn A.