Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sin x\).

- Phân tích \(\dfrac{1}{{\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)}} = \dfrac{1}{{t - 3}} - \dfrac{1}{{t - 2}}\).

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{dx}}{{ax + b}}}  = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\), khi đó

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x - 5\sin x + 6}}dx}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} - 5t + 6}}} \\ = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)}}}  = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{1}{{t - 3}} - \dfrac{1}{{t - 2}}} \right)dt} \\ = \left. {\left( {\ln \left| {t - 3} \right| - \ln \left| {t - 2} \right|} \right)} \right|_0^1 = \left. {\ln \left| {\dfrac{{t - 3}}{{t - 2}}} \right|} \right|_0^1\\ = \ln 2 - \ln \dfrac{3}{2} = \ln \dfrac{4}{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = 3\).

Vậy \(a + b = 1 + 3 = 4\).

Chọn C.