Phương pháp giải:

Bình phương đẳng thức đã cho, sử dụng các công thức: ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1;\,\,\,\sin 2x = 2\sin x\cos x.$ 

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\sin x + \cos x =  - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{4} - 1 =  - \frac{3}{4}\\ \Rightarrow \sin 2x =  - \frac{3}{4}\end{array}$

Chọn A.