Phương pháp giải:

Bình phương mỗi đẳng thức đã cho và cộng vế với vế các đẳng thức có được.

Chú ý: \(\cos \left( {x + y} \right) = \cos x\cos y - \sin x\sin y\)  

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin x + \sin y = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow {\left( {\sin x + \sin y} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\sin y + {\sin ^2}y = 3\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\cos x - \cos y = 1\)\( \Rightarrow {\left( {\cos x - \cos y} \right)^2} = {1^2}\) \( \Rightarrow {\cos ^2}x - 2\cos x\cos y + {\cos ^2}y = 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Lấy (1) cộng (2) vế với vế ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {{{\sin }^2}x + 2\sin x\sin y + {{\sin }^2}y} \right) + \left( {{{\cos }^2}x - 2\cos x\cos y + {{\cos }^2}y} \right) = 3 + 1\\ \Rightarrow \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + \left( {2\sin x\sin y - 2\cos x\cos y} \right) + \left( {{{\sin }^2}y + {{\cos }^2}y} \right) = 4\\ \Rightarrow 1 - 2\left( {\cos x\cos y - \sin x\sin y} \right) + 1 = 4\\ \Rightarrow 2 - 2\cos \left( {x + y} \right) = 4\\ \Rightarrow 2\cos \left( {x + y} \right) =  - 2\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x + y} \right) =  - 1\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\)\( = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

Thay vào biểu thức và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(P = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\cos x + \sin x}}\) \( = \frac{{\cos 2x}}{{\cos x + \sin x}}\)\( = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\cos x + \sin x}}\)\( = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{\cos x + \sin x}}\)\( = \cos x - \sin x\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Bình phương đẳng thức đã cho, sử dụng các công thức: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1;\,\,\,\sin 2x = 2\sin x\cos x.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin x + \cos x =  - \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{4} - 1 =  - \frac{3}{4}\\ \Rightarrow \sin 2x =  - \frac{3}{4}\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \\\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\end{array} \right.\) để biến đổi biểu thức.

Sau đó bình phương làm xuất hiện \(\sin 2\alpha \) để sử dụng giả thiết \(\sin 2\alpha  = m\,\,\left( { - 1 \le m < 0} \right)\)

Cuối cùng kết hợp điều kiện \(\frac{\pi }{2}\,\, < \alpha  < \pi \) để chọn nghiệm phù hợp

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\alpha  + \frac{{3\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {\alpha  - \pi } \right)\\ = \cos \alpha .\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) - \sin \alpha \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {\pi  - \alpha } \right)\\ = \sin \alpha  - \cos \alpha \end{array}\)       

Ta có: \(\sin 2\alpha  = m \Leftrightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha  = m\)

Theo đề bài ta có: \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  > 0\\\cos \alpha  < 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \sin \alpha  - \cos \alpha  > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  - 2\sin \alpha .\cos \alpha \\ = 1 - \sin 2\alpha  = 1 - m\\ \Rightarrow \sin \alpha  - \cos \alpha  = \sqrt {1 - m} \,\,\,\,\,\left( {do\, - 1 \le m < 0 \Rightarrow 1 - m > 0} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng và các công thức nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

* Đáp án A:

\(\begin{array}{l}VT = 4\cos \left( {a - b} \right)\cos \left( {b - c} \right)\cos \left( {c - a} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 2\left[ {\cos \left( {a - c} \right) + \cos \left( {a - 2b + c} \right)} \right]\cos \left( {a - c} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 2{\cos ^2}\left( {a - c} \right) + 2\cos \left( {a - 2b + c} \right)\cos \left( {a - c} \right)\\VP = \cos 2\left( {a - b} \right) + \cos 2\left( {b - c} \right) + \cos 2\left( {c - a} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 2\cos \left( {a - c} \right)\cos \left( {a - 2b + c} \right) + \cos 2\left( {a - c} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 2\cos \left( {a - 2b + c} \right)\cos \left( {a - c} \right) + 2{\cos ^2}\left( {a - c} \right) - 1\\ \Rightarrow VT \ne VP\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A sai.

* Đáp án B:

\(\begin{array}{l}VP = \dfrac{{\sin 10x + \sin 6x + \sin 4x}}{4} = \dfrac{{2\sin 5x\cos 5x + 2\sin 5x\cos x}}{4}\\ = \dfrac{{2\sin 5x\left( {\cos 5x + \cos x} \right)}}{4} = \dfrac{{\sin 5x.2\cos 3x\cos 2x}}{2} = \cos 2x\sin 5x\cos 3x = VT\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

* Đáp án C:

\(\begin{array}{l}VP = \dfrac{{\sin {{58}^0} + \sin {{42}^0} + \cos {8^0}}}{4} = \dfrac{{2\sin {{50}^0}\cos {8^0} + \cos {8^0}}}{4}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\cos {8^0}\left( {2\sin {{50}^0} + 1} \right)}}{4}\\VT = \sin {40^0}\cos {10^0}\cos {8^0} = \dfrac{1}{2}\left( {\sin {{50}^0} + \sin {{30}^0}} \right)\cos {8^0}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\sin {{50}^0} + \dfrac{1}{2}} \right)\cos {8^0} = \dfrac{{\left( {2\sin {{50}^0} + 1} \right)\cos {8^0}}}{4}\\ \Rightarrow VT = VP\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

* Đáp án D:

\(\begin{array}{l}VP = \dfrac{{\sin 4a - \sin 6a + \sin 2a}}{4} = \dfrac{{\left( {\sin 4a + \sin 2a} \right) - \sin 6a}}{4}\\ = \dfrac{{2\sin 3a\cos a - 2\sin 3a\cos 3a}}{4} = \dfrac{{2\sin 3a\left( {\cos a - \cos 3a} \right)}}{4}\\ = \dfrac{{ - \sin 3a.2\sin 2a\sin \left( { - a} \right)}}{2} = \sin a\sin 2a\sin 3a = VT\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc.

Lời giải chi tiết:

* Xét đáp án A:

\(\begin{array}{l}VP = 4\sin \left( {\dfrac{x}{2} + {{15}^0}} \right)\sin \left( {\dfrac{x}{2} - {{15}^0}} \right)\\ =  - 2\left[ {\cos x - \cos {{30}^0}} \right] =  - 2\left( {\cos x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\\ =  - 2\cos x + \sqrt 3  = VP\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

* Xét đáp án B:

\(\begin{array}{l}VP = \dfrac{{4\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}\\ = \dfrac{{ - 2\cos \left( {2x - \cos \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{ - 2\left( {\cos 2x + \dfrac{1}{2}} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}\\ = \dfrac{{ - 2\cos 2x - 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{ - 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\\ = \dfrac{{4{{\sin }^2}x - 3}}{{{{\cos }^2}x}} = 4{\tan ^2}x - 3\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = {\tan ^2}x - 3 = VP\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

* Xét đáp án C:

\(\begin{array}{l}VT = {\sin ^2}7x - {\cos ^2}5x = \dfrac{{1 - \cos 14x}}{2} - \dfrac{{1 - \cos 10x}}{2}\\ = \dfrac{{\cos 10x - \cos 14x}}{2} = \dfrac{{2\cos 12x\cos 2x}}{2} = \cos 12x\cos 2x = VP\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt các công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng.

Lời giải chi tiết:

* Xét đáp án A:

\(\begin{array}{l}\sin A + \sin B + \sin C = 2\sin \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \sin C\\ = 2\sin \dfrac{{\pi  - C}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \sin C = 2\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2}} \right)\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{C}{2}\\ = 2\cos \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{C}{2} = 2\cos \dfrac{C}{2}\left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \sin \dfrac{C}{2}} \right)\\ = 2\cos \dfrac{C}{2}\left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2}} \right)} \right) = 2\cos \dfrac{C}{2}\left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \cos \dfrac{{A + B}}{2}} \right)\\ = 2\cos \dfrac{C}{2}.2\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2} = 4\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

* Xét đáp án B:

\(\begin{array}{l}\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \cos A + \cos B + \cos C - 1 = 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2\cos \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} - 2{\sin ^2}\dfrac{C}{2} = 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2}} \right)\cos \dfrac{{A - B}}{2} - 2{\sin ^2}\dfrac{C}{2} = 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} - 2{\sin ^2}\dfrac{C}{2} = 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{C}{2}\left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} - \sin \dfrac{C}{2}} \right) = 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{{A - B}}{2} - \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2}} \right) = 2\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{{A - B}}{2} - \cos \dfrac{{A + B}}{2} = 2\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\\ \Leftrightarrow  - 2\sin \dfrac{{A - B + A + B}}{4}\sin \dfrac{{A - B - A - B}}{4} = 2\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\\ \Leftrightarrow  - \sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{{ - B}}{2} = \sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

* Xét đáp án C:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2\sin \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right) + \sin 2C\\ = 2\sin \left( {\pi  - C} \right)\cos \left( {A - B} \right) + \sin 2C = 2\sin C\cos \left( {A - B} \right) + 2\sin C\cos C\\ = 2\sin C\left( {\cos \left( {A - B} \right) + \cos C} \right) = 2\sin C.2\cos \dfrac{{C + A - B}}{2}\cos \dfrac{{C - A + B}}{2}\\ = 4\sin Ccos\dfrac{{\pi  - 2B}}{2}\cos \dfrac{{\pi  - 2A}}{2} = 4\sin C\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - B} \right)\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - A} \right)\\ = 4\sin C\sin B\sin A = 4\sin A\sin B\sin C\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\\\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos 2a = {\cos ^2}a - {\cos ^2}b\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = {\cos ^2}a + {\cos ^2}\left( {a + b} \right) - 2\cos a.\cos b.\cos \left( {a + b} \right)\\\,\,\,\,\, = {\cos ^2}a + {\cos ^2}\left( {a + b} \right) - 2.\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right].\cos \left( {a + b} \right)\\\,\,\,\,\, = {\cos ^2}a + {\cos ^2}\left( {a + b} \right) - {\cos ^2}\left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right).\cos \left( {a + b} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{1 + \cos 2a}}{2} - \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2b}}{2} = {\sin ^2}b.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\\\sin 2a = 2\sin a\cos a\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}E = \sin 6x - 2\sin x\left( {\cos 3x + \cos 5x} \right)\\\,\,\,\,\, = \sin 6x - 2\sin x.2.\cos 4x.\cos \left( { - x} \right)\\\,\,\,\,\, = \sin 6x - 4\sin x.\cos 4x.\cos x\\\,\,\,\,\, = \sin 6x - 2\sin 2x.\cos 4x\\\,\,\,\,\, = \sin 6x - \left( {\sin 6x + \sin \left( { - 2x} \right)} \right)\\\,\,\,\,\, = \sin 6x - \sin 6x + \sin 2x\\\,\,\,\,\, = \sin 2x.\end{array}\)

Vậy \(E = \sin 2x.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\).

+) Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\sin ^2}x + {\sin ^2}\left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\sin ^2}\left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - x} \right)\\ = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + \dfrac{{1 - \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)}}{2} + \dfrac{{1 - \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)}}{2}\\ = \dfrac{{3 - \cos 2x - \left[ {\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right) + \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]}}{2}\\ = \dfrac{{3 - \cos 2x - 2\cos \dfrac{{4\pi }}{3}\cos 2x}}{2}\\ = \dfrac{{3 - \cos 2x\left( {1 + 2\cos \dfrac{{4\pi }}{3}} \right)}}{2}\\ = \dfrac{{3 - \cos 2x\left( {1 + 2.\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)}}{2} = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nhân đôi và công thức biến tổng thành tích để biến đổi đề bài tính \(\sin a\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin 2a + \sin 5a - \sin 3a}}{{2{{\cos }^2}2a + \cos a - 1}} =  - 2 \Leftrightarrow \frac{{2\sin a\cos a + 2\cos 4a\sin a}}{{\cos 4a + \cos a}} =  - 2\\ \Leftrightarrow \frac{{2\sin a\left( {\cos 4a + \cos a} \right)}}{{\cos 4a + \cos a}} =  - 2 \Leftrightarrow 2\sin a =  - 2 \Leftrightarrow \sin a =  - 1\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt các công thức biến đôi tổng thành tích, tích thành tổng.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2\sin \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right) + \sin 2C\\ = 2\sin \left( {\pi  - C} \right)\cos \left( {A - B} \right) + \sin 2C = 2\sin C\cos \left( {A - B} \right) + 2\sin C\cos C\\ = 2\sin C\left( {\cos \left( {A - B} \right) + \cos C} \right) = 2\sin C.2\cos \dfrac{{C + A - B}}{2}\cos \dfrac{{C - A + B}}{2}\\ = 4\sin Ccos\dfrac{{\pi  - 2B}}{2}\cos \dfrac{{\pi  - 2A}}{2} = 4\sin C\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - B} \right)\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - A} \right)\\ = 4\sin C\sin B\sin A = 4\sin A\sin B\sin C\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc.

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A:

\(\begin{array}{l}VT = 1 + 2\cos x + \cos 2x = 2{\cos ^2}x + 2\cos x\\ = 2\cos x\left( {\cos x + 1} \right) = 2\cos x.2{\cos ^2}\dfrac{x}{2} = 4\cos x{\cos ^2}\dfrac{x}{2} = VP\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Xét đáp án B:

\(\begin{array}{l}VT = \sin x\cos 3x + \sin 4x\cos 2x\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin \left( { - 2x} \right)} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\sin 6x + \sin 2x} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 4x - \sin 2x + \sin 6x + \sin 2x} \right)\\ = \dfrac{1}{2}.2\sin 5x\cos x = \sin 5x\cos x\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

Xét đáp án C:

\(\begin{array}{l}VP = 2\cos 3x\cos 2x\cos x = \left( {\cos 4x + \cos 2x} \right)\cos 2x\\\,\,\,\,\,\,\, = \cos 4x\cos 2x + {\cos ^2}2x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 2x} \right) + {\cos ^2}2x\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}3x - 1 + 2{{\cos }^2}x - 1} \right) + {\cos ^2}2x\\\,\,\,\,\,\,\, = {\cos ^2}3x + {\cos ^2}x - 1 + {\cos ^2}2x = VT\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7}.\frac{3}{4}}} = 1\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b = \frac{\pi }{4}\\a + b = \frac{{5\pi }}{4}\end{array} \right. \Rightarrow a + b = \frac{\pi }{4}\,\,\,\left( {do\,\,\,0 < a,\,\,b < \frac{\pi }{2} \Rightarrow 0 < a + b < \pi } \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sin a = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right);\,\,\,\,\,{\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}S = {\sin ^2}{5^o} + {\sin ^2}{10^o} + {\sin ^2}{15^o} + ... + {\sin ^2}{85^o}\\ = \left( {{{\sin }^2}{5^o} + {{\sin }^2}{{85}^o}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{10}^o} + {{\sin }^2}{{80}^o}} \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}{{40}^o} + {{\sin }^2}{{50}^o}} \right) + {\sin ^2}{45^o}\\ = \left( {{{\sin }^2}{5^o} + {{\cos }^2}{5^o}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{10}^o} + {{\cos }^2}{{10}^o}} \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}{{40}^o} + {{\cos }^2}{{40}^o}} \right) + {\sin ^2}{45^o}\\ = 8 + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 8 + \frac{1}{2} = \frac{{17}}{2}.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Nhân cả 2 vế phương trình đã cho với \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \frac{\pi }{4} = \cos \frac{\pi }{4}\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = 1 \Leftrightarrow \sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức biến tổng thành tích và công thức lượng giác của các cung đặc biệt để biến đổi dữ kiện đề bài, kết hợp định lý tổng 3 góc trong tam giác để kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(\sin A + \sin B = \cos A + \cos B \Leftrightarrow \sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} = \cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

TH1: \(\cos \frac{{A - B}}{2} = 0 \Rightarrow \frac{{A - B}}{2} = {90^o} \Rightarrow A - B = {180^o} = A + B + C \Leftrightarrow 2B + C = 0\) vô lý

TH2: \(\cos \frac{{A - B}}{2} \ne 0\)  khi đó  \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin \frac{{A + B}}{2} = \cos \frac{{A + B}}{2} \Leftrightarrow \sin \frac{{A + B}}{2} = \sin \frac{C}{2}\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\frac{{A + B}}{2} + \frac{C}{2} = {{90}^o}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{C}{2} \Leftrightarrow A + B = C \Leftrightarrow {180^o} - C = C \Leftrightarrow 2C = {180^o} \Leftrightarrow C = {90^o}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,;\,\,{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\,\,;\,\,\sin 2x = 2\sin x\cos x\)

Lời giải chi tiết:

Do  \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \cos \alpha  < 0\)

Ta có:  \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha  = 6 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{ - \sqrt 6 }}{6}\)

\(\sin \alpha  = \cos \alpha .\tan \alpha  = \frac{{\sqrt {30} }}{6} \Rightarrow \sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu của P cho \(\cos x \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\tan \alpha  = 3 \Rightarrow \cos x \ne 0\)

Chia cả tử và mẫu của P cho \(\cos x \ne 0\) ta được:

\(P = \frac{{3\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }} = \frac{{3\tan \alpha  + 1}}{{\tan \alpha  - 1}} = \frac{{3.3 + 1}}{{3 - 1}} = \frac{{10}}{2} = 5\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\tan \dfrac{x}{2} = a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{2a}}{{1 + {a^2}}}\\\cos x = \dfrac{{1 - {a^2}}}{{1 + {a^2}}}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\tan \dfrac{x}{2} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{2\dfrac{a}{b}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^2}}} = \dfrac{{\dfrac{{2a}}{b}}}{{\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2}}}}} = \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}\\\cos x = \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow a\sin x + b\cos x = a\dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}} + b\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\\ = \dfrac{{2{a^2}b + {b^3} - {a^2}b}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{{a^2}b + {b^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{b\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} = b\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Chứng minh \(1 + \frac{1}{{\sin A}} \le 1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}}}\) từ đó tìm dấu “=” xảy ra để tính các góc của \(\Delta ABC\)

Lời giải chi tiết:

Tính các góc của \(\Delta ABC\) biết \(\left( {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}}}} \right)^3}\).

\(\begin{array}{l}\left( {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sin A + 1} \right)\left( {\sin B + 1} \right)\left( {\sin C + 1} \right)}}{{\sin A\sin B\sin C}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}} + 1} \right)}^3}}}{{\sin A\sin B\sin C}}\\ \Leftrightarrow \sin A\sin B\sin C + \sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin A\sin C + \sin A + \sin B + \sin C + 1\\\,\,\,\,\,\,\, = \sin A\sin B\sin C + 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}} + 3\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}} + 1\\ \Leftrightarrow \sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin A\sin C + \sin A + \sin B + \sin C = 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}} + 3\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}\end{array}\)

Ta có \(A,\,\,B,\,\,C\) là các góc trong tam giác \( \Rightarrow 0 < \sin A,\sin B,\sin C \le 1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin A\sin C \ge 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}}\\\sin A + \sin B + \sin C \ge 3\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin A\sin C + \sin A + \sin B + \sin C \ge 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}} + 3\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}\end{array}\)

 Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \sin A = \sin B = \sin C\) mà \(A,\,\,B,\,\,C\)  là các góc trong \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow A = B = C = {60^o}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Nhân cả 2 vế với \(2\sin \dfrac{\pi }{{15}}\) và áp dụng công thức \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).

+) Sử dụng tính chất của các góc bù nhau và hơn kém nhau \(\pi \).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,M = \cos \dfrac{\pi }{{15}}\cos \dfrac{{2\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{3\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{4\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{5\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{6\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{7\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{\pi }{{15}}M = 2\sin \dfrac{\pi }{{15}}\cos \dfrac{\pi }{{15}}\cos \dfrac{{2\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{3\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{4\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{5\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{6\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{7\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{\pi }{{15}}M = \sin \dfrac{{2\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{2\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{3\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{4\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{5\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{6\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{7\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{\pi }{{15}}M = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{{4\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{3\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{4\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{5\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{6\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{7\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{\pi }{{15}}M = \dfrac{1}{4}\sin \dfrac{{8\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{3\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{5\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{6\pi }}{{15}}\cos \left( {\pi  - \dfrac{{7\pi }}{{15}}} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{\pi }{{15}}M =  - \dfrac{1}{4}\sin \dfrac{{8\pi }}{{15}}cos\dfrac{{8\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{3\pi }}{{15}}\cos \dfrac{\pi }{3}\cos \dfrac{{6\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{\pi }{{15}}M =  - \dfrac{1}{{16}}\sin \dfrac{{16\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{3\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{6\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{\pi }{{15}}M =  - \dfrac{1}{{16}}\sin \left( {\pi  + \dfrac{\pi }{{15}}} \right)\cos \dfrac{{3\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{6\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{\pi }{{15}}M = \dfrac{1}{{16}}\sin \dfrac{\pi }{{15}}\cos \dfrac{{3\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{6\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow M = \dfrac{1}{{32}}\cos \dfrac{{3\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{6\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{3\pi }}{{15}}M = \dfrac{1}{{32}}2\sin \dfrac{{3\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{3\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{6\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{3\pi }}{{15}}M = \dfrac{1}{{32}}\sin \dfrac{{6\pi }}{{15}}\cos \dfrac{{6\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{3\pi }}{{15}}M = \dfrac{1}{{64}}\sin \dfrac{{12\pi }}{{15}} \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{3\pi }}{{15}}M = \dfrac{1}{{64}}\sin \left( {\pi  - \dfrac{{3\pi }}{{15}}} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{3\pi }}{{15}}M = \dfrac{1}{{64}}\sin \dfrac{{3\pi }}{{15}} \Leftrightarrow M = \dfrac{1}{{128}}\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Chuyển vế, sử dụng công thức \(\cos 2A+1=2{{\cos }^{2}}A,\,\,\cos 2B+\cos 2C=2\cos \left( B+C \right)\cos \left( B-C \right)\).

+) Sử dụng tính chất: \(\cos A=-\cos \left( \pi -A \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C =  - 1\\ \Leftrightarrow \cos 2A + 1 + 2\cos \left( {B + C} \right)\cos \left( {B - C} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}A + 2\cos \left( {\pi  - A} \right)\cos \left( {B - C} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}A - 2\cos A\cos \left( {B - C} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos A\left[ {\cos A - \cos \left( {B - C} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos A = 0\\\cos A = \cos \left( {B + C} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = {90^0}\\A = B + C\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = {90^0}\\A = B + C = {90^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow A = {90^0}\end{array}\)

Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \(\sin a\sin b =  - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right];\,\,\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

+) Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 2{\cos ^2} - 1\).

+) Sử dụng công thức nhân ba: \(\sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x,\,\,\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \tan x\tan \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right)\tan \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right) \Leftrightarrow A = \tan x\dfrac{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right)\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right)}}{{\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right)}}\\ \Leftrightarrow A = \tan x\dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{2\pi }}{3} - \cos 2x} \right]}}{{\dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right]}} \Leftrightarrow A = \tan x\dfrac{{ - \left( {\dfrac{{ - 1}}{2} - \cos 2x} \right)}}{{ - \dfrac{1}{2} + \cos 2x}}\\ \Leftrightarrow A = \tan x\dfrac{{\dfrac{1}{2} + \cos 2x}}{{ - \dfrac{1}{2} + \cos 2x}} \Leftrightarrow A = \tan x\dfrac{{2\cos 2x + 1}}{{2\cos 2x - 1}}\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\dfrac{{2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 1}}{{2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - 1}} \Leftrightarrow A = \dfrac{{\sin x\left( { - 4{{\sin }^2}x + 3} \right)}}{{\cos x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{{3\sin x - 4{{\sin }^3}x}}{{4{{\cos }^3}x - 3\cos x}} = \dfrac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}} = \tan 3x\end{array}\)

Vậy \(n = 3\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

+) \(ABC\) là tam giác \( \Rightarrow A + B + C = \pi \). Sử dụng mối quan hệ \(\cos A =  - \cos \left( {\pi  - A} \right)\).

+) Thêm bớt tạo hằng đẳng thức, đưa đẳng thức về dạng \({A^2} + {B^2} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos A\cos B\cos C = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {A + B} \right) + \cos \left( {A - B} \right)} \right]\cos C = \dfrac{1}{8}\\ \Leftrightarrow \left[ {\cos \left( {\pi  - C} \right) + \cos \left( {A - B} \right)} \right]\cos C = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ {\cos \left( {\pi  - C} \right) + \cos \left( {A - B} \right)} \right]\cos C - \dfrac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ { - \cos C + \cos \left( {A - B} \right)} \right]\cos C - \dfrac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}C - \cos \left( {A - B} \right)\cos C + \dfrac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}C - \cos \left( {A - B} \right)\cos C + \dfrac{1}{4}{\cos ^2}\left( {A - B} \right) - \dfrac{1}{4}{\cos ^2}\left( {A - B} \right) + \dfrac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right)} \right)^2} + \dfrac{1}{4}\left( {1 - {{\cos }^2}\left( {A - B} \right)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right)} \right)^2} + \dfrac{1}{4}{\sin ^2}\left( {A - B} \right) = 0\end{array}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right)} \right)^2} \ge 0\\\dfrac{1}{4}{\sin ^2}\left( {A - B} \right) \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right)} \right)^2} + \dfrac{1}{4}{\sin ^2}\left( {A - B} \right) \ge 0\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right) = 0\\\dfrac{1}{4}{\sin ^2}\left( {A - B} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\cos C = \cos \left( {A - B} \right)\\A - B = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\cos C = 1\\A = B\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \dfrac{\pi }{3}\\A = B\end{array} \right.\) .

Vậy tam giác \(ABC\) đều.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Vi-ét và công thức lượng giác để tính \(\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha  + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }}\)

Áp dụng công thức \({\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)}}\) tính \({\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)\) theo p,q

Nhân và chia biểu thức P cho \({\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) \ne 0,\) biến đổi để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\tan \alpha \) và \(\tan \beta \) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - px + q = 0{\rm{ }}\,\,\left( {q \ne 1} \right)\)

Theo định lý Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha  + \tan \beta  = p\\\tan \alpha .\tan \beta  = q\end{array} \right. \Rightarrow \tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha  + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }} = \frac{p}{{1 - q}}\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)}} = \frac{1}{{1 + \frac{{{p^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}}} = \frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}\)

 \(\begin{array}{l}q \ne 1 \Rightarrow \frac{{\sin \alpha .\sin \beta }}{{\cos \alpha .\cos \beta }} \ne 1 \Rightarrow \sin \alpha .\sin \beta  \ne \cos \alpha .\cos \beta \\ \Rightarrow \cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \alpha .\cos \beta  - \sin \alpha .\sin \beta  \ne 0\\ \Rightarrow P = {\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)\left[ {1 + p.\frac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{{\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)}} + q.\frac{{{{\sin }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)}}} \right]\\ = {\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)\left[ {1 + p.\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) + q.{{\tan }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)} \right]\\ = \frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}\left[ {1 + \frac{{{p^2}}}{{1 - q}} + \frac{{{p^2}q}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}} \right] = \frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}\left( {1 - q} \right) + {p^2}q}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}} = 1.\end{array}\) 

Chọn C.

Phương pháp giải:

Từ dữ kiện đề bài tính \(\cos 2x\) từ đó áp dụng công thức góc nhân đôi để tính \(\cos 8x\)

Lời giải chi tiết:

Cho x thỏa mãn \({\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right)^2} = \frac{1}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(\cos 8x\).

Ta có: \(\frac{1}{3} = {\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right)^2} = {\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)^2}.{\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)^2} = {\cos ^2}2x\)

\(\cos 8x = 2{\cos ^2}4x - 1 = 2{\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right)^2} - 1 = 2{\left( {2.\frac{1}{3} - 1} \right)^2} - 1 = 2{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} - 1 =  - \frac{7}{9}\)

Vậy \(\cos 8x =  - \frac{7}{9}.\) 

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức lượng giác biến tổng thành tích và biến tích thành tổng để biến đổi

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin \alpha .\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \beta  \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) - \sin \beta } \right] = \sin \beta \\ \Leftrightarrow \sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) = 3\sin \beta \\ \Leftrightarrow \sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) + \sin \beta  = 4\sin \beta \\ \Leftrightarrow 2\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\cos \alpha  = 4\sin \beta \\ \Leftrightarrow \sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\cos \alpha  = 2\sin \alpha \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\end{array}\)

Vì  \(\alpha  + \beta  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + l\pi ,\,\,\left( {k,\,l \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) \ne 0\\\cos \alpha  \ne 0\end{array} \right.\)

Chia cả 2 vế cho \(\cos \alpha .\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\)  ta được:

\(2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{{\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)}} \Leftrightarrow \tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2\tan \alpha \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\sin ^3}\alpha  = {{3\sin \alpha  - \sin 3\alpha } \over 4}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & B = {\sin ^3}{a \over 3} + 3{\sin ^3}{a \over {{3^2}}} + {3^2}{\sin ^3}{a \over {{3^3}}} + ... + {3^{n - 1}}{\sin ^3}{a \over {{3^n}}}  \cr   & \,\,\,\,\, = {{3\sin {a \over 3} - \sin a} \over 4} + 3.{{3\sin {a \over {{3^2}}} - \sin {a \over 3}} \over 4} + {3^2}.{{3\sin {a \over {{3^3}}} - \sin {a \over {{3^2}}}} \over 4} + .... + {3^{n - 1}}.{{3\sin {a \over {{3^n}}} - \sin {a \over {{3^{n - 1}}}}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\, = {1 \over 4}.\left( { - \sin a + 3\sin {a \over 3} - 3\sin {a \over 3} + {3^2}\sin {a \over {{3^2}}} - {3^2}\sin {a \over {{3^2}}} + {3^3}\sin {a \over {{3^3}}} - ... - {3^{n - 1}}\sin {a \over {{3^{n - 1}}}} + {3^n}\sin {a \over {{3^n}}}} \right)  \cr   & \,\,\,\,\, = {1 \over 4}\left( {{3^n}\sin {a \over {{3^n}}} - \sin a} \right) = {{{3^n}\sin {a \over {{3^n}}} - \sin a} \over 4} \cr} \)

Chọn: B

Phương pháp giải:

Tổng quát: \({1 \over {\sin 2\alpha }} = {{\sin \alpha } \over {\sin \alpha .\sin 2\alpha }} = {{\sin (2\alpha  - \alpha )} \over {\sin \alpha .\sin 2\alpha }} = {{\sin 2\alpha \cos \alpha  - \cos 2\alpha \sin \alpha } \over {\sin \alpha .\sin 2\alpha }} = \cot \alpha  - \cot 2\alpha \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({1 \over {\sin 2\alpha }} = {{\sin \alpha } \over {\sin \alpha .\sin 2\alpha }} = {{\sin (2\alpha  - \alpha )} \over {\sin \alpha .\sin 2\alpha }} = {{\sin 2\alpha \cos \alpha  - \cos 2\alpha \sin \alpha } \over {\sin \alpha .\sin 2\alpha }} = \cot \alpha  - \cot 2\alpha \)

\(\eqalign{  & S = {1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\sin 4x}} + ... + {1 \over {\sin {2^n}x}}  \cr   & \,\,\,\, = \cot x - \cot 2x + \cot 2x - \cot 4x + ... + \cot {2^{n-1}}x - \cot {2^{n }}x  \cr   & \,\,\,\, = \cot x - \cot {2^{n }}x \cr} \)

Chọn C.