Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Sử dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có đường cao \(DH\) ta có:  \(BD.BA = B{H^2}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:   \(BH.BC = B{A^2} \Leftrightarrow BH = \frac{{B{A^2}}}{{BC}}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow BD.BA = \frac{{B{A^4}}}{{B{C^2}}} \Rightarrow BD = \frac{{B{A^3}}}{{B{C^2}}}\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  ta có: \(BA = BC\cos B\)

\( \Rightarrow BD = \frac{{B{A^3}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^3}{{\cos }^3}B}}{{B{C^2}}}\)\( = BC{\cos ^3}B\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)