Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: $\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

$\sin \alpha  = \frac{5}{{13}}$

Ta có: ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha  = 1$$\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{{25}}{{169}} = \frac{{144}}{{169}}$$\Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{{12}}{{13}}$

Lại có: ${\tan ^2}\alpha  + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ $\Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \frac{{169}}{{144}} - 1 = \frac{{25}}{{144}}$ $\Rightarrow \tan \alpha  =  \pm \frac{5}{{12}}$

$\Rightarrow \cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} =  \pm \frac{{12}}{5}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: $\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

$\tan \alpha  = \frac{{12}}{{35}}$

Ta có: $\tan \alpha .\cot \alpha  = 1$$\Leftrightarrow \cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{{12}}{{35}} = \frac{{35}}{{12}}$

Lại có: $1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$$\Leftrightarrow 1 + {\left( {\frac{{12}}{{35}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$$\Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{1369}}{{1225}}$$\Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{{1225}}{{1369}}$$\Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{{35}}{{37}}$

${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$$\Leftrightarrow {\left( {\frac{{35}}{{37}}} \right)^2} + {\sin ^2}\alpha  = 1$$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{{1225}}{{1369}} = \frac{{144}}{{1369}}$$\Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{{12}}{{37}}$

Chọn C.