Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tính chất bắc cầu.

Lời giải chi tiết:

a) $AB.AD = AC.AE$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABH$ vuông tại $H$ có đường cao $DH$ ta có:  $AB.AD = A{H^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ACH$ vuông tại $H$ có đường cao $HE$ ta có:  $AE.AC = A{H^2}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\,\,\,\left( 2 \right) \Rightarrow$$AB.AD = AC.AE\,\,\,\left( { = A{H^2}} \right).$

b) $\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH}}{{CH}}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ ta có:  $\left\{ \begin{array}{l}BH.BC = A{B^2}\\CH.BC = A{C^2}\end{array} \right..$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}A{B^2}.CH = BH.BC.CH\\A{C^2}.BH = CH.BC.BH\end{array} \right\} \Rightarrow A{B^2}.CH = A{C^2}.BH$$\Rightarrow \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH}}{{CH}}\,\,\,\left( {dpcm} \right)$