Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông ở A để tính độ dài cạnh BC.

Áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính cạnh  $BH:\,\,\,\,A{B^2} = BH.BC.$

Từ đó suy ra độ dài cạnh $HC:\,\,\,HC = BC - HB.$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

$\Leftrightarrow B{C^2} = {4^2} + 7,{5^2} = \frac{{289}}{4} \Rightarrow BC = 8,5\left( {cm} \right)$

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ ta có:

$\Rightarrow A{B^2} = BH.BC$

$\Leftrightarrow {4^2} = 8,5.BH \Leftrightarrow BH = \frac{{32}}{{17}}\,\,\,\left( {cm} \right)$

Ta có: $CH = BC - BH = 8,5 - \frac{{32}}{{17}} = \frac{{225}}{{34}}\left( {cm} \right)$

Chọn A.