Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định. Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi rồi rút gọn biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5x - 10\sqrt x  + 5 \ne 0\\\sqrt {x + 1}  - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \ne 0\\\sqrt {x + 1}  \ne 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  \ne 1\\x \ne 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 8\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = \frac{{x - 3\sqrt x  + 2}}{{5x - 10\sqrt x  + 5}}\left( {\frac{{x - 8}}{{\sqrt {x + 1}  - 3}} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1}  + 2}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{5\left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right)}}\left( {\frac{{x + 1 - 9}}{{\sqrt {x + 1}  - 3}} - \frac{{x + 1 - 4}}{{\sqrt {x + 1}  + 2}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{5{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}\left[ {\frac{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 3} \right)}}{{\sqrt {x + 1}  - 3}} - \frac{{\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 1}  + 2}}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{5\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\left[ {\sqrt {x + 1}  + 3 - \left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{5\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.5\, = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}}.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức \(P\left( x \right) = a + \frac{b}{{f\left( x \right)}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Khi đó \(P\left( x \right) \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) \in U\left( b \right).\)

Từ đó tìm \(x,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1,\,\,\,x \ne 8.\)

Ta có: \(P\left( x \right) = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}} = 1 - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}.\)

\( \Rightarrow P\left( x \right) \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} \in \mathbb{Z}\) \( \Leftrightarrow 1\,\, \vdots \,\,\left( {\sqrt x  - 1} \right) \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 \in U\left( 1 \right)\)

Mà \(U\left( 1 \right) = \left\{ { - 1;\,\,1} \right\} \Rightarrow \sqrt x  - 1 \in \left\{ { - 1;\,\,1} \right\}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 1 =  - 1\\\sqrt x  - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy \(x = 0,\,\,\,x = 4\) thỏa mãn  bài toán.

Chọn A.