Phương pháp giải:

Thay \(a = 1\,6\,\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào để tính giá trị biểu thức \(A\).

Lời giải chi tiết:

Thay \(a = 16\,\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào \(A\)ta được:

\(A = \frac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }} = \frac{{16 - 4}}{{16 + 2\sqrt {16} }} = \frac{{12}}{{16 + 2.4}} = \frac{{12}}{{24}} = \frac{1}{2}\)

Vậy khi \(a = 16\) thì \(A = \frac{1}{2}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu số rồi rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(a > 0,\,\,a \ne 4.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{5\sqrt a }}{{\sqrt a  - 2}} + \frac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 2}} - \frac{{5a + 2}}{{a - 4}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{5\sqrt a }}{{\sqrt a  - 2}} + \frac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 2}} - \frac{{5a + 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{5\sqrt a \left( {\sqrt a  + 2} \right) + \left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right) - 5a - 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{5a + 10\sqrt a  + a - 3\sqrt a  + 2 - 5a - 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{a + 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}.\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Rút gọn \(P.\)

Đánh giá tập giá trị của biểu thức \(P\) sau đó tìm các giá trị nguyên của \(P\) rồi suy ra \(a.\) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(a > 0,\,\,a \ne 4.\)

\(P = A.B = \frac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }}.\frac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}\)\( = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 7} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt a  + 7}}{{\sqrt a  + 2}} = \frac{{\sqrt a  + 2 + 5}}{{\sqrt a  + 2}}\)\( = 1 + \frac{5}{{\sqrt a  + 2}} > 1\)

Ta có: với \(a > 0 \Rightarrow \sqrt a  > 0 \Rightarrow \sqrt a  + 2 > 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt a  + 2}} < \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt a  + 2}} < \frac{5}{2}\\ \Rightarrow P = 1 + \frac{5}{{\sqrt a  + 2}} < 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}\\ \Rightarrow 1 < P < \frac{7}{2}\end{array}\)

Mà \(P \in \mathbb{Z} \Rightarrow P = \left\{ {2;\,\,3} \right\}.\)

+) Với \(P = 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt a  + 7}}{{\sqrt a  + 2}} = 2\) \( \Leftrightarrow \sqrt a  + 7 = 2\left( {\sqrt a  + 2} \right)\) \( \Leftrightarrow \sqrt a  + 7 = 2\sqrt a  + 4\)\( \Leftrightarrow \sqrt a  = 3 \Leftrightarrow a = 9\,\,\,\left( {tm} \right).\)

+) Với \(P = 3 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt a  + 7}}{{\sqrt a  + 2}} = 3\) \( \Leftrightarrow \sqrt a  + 7 = 3\left( {\sqrt a  + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt a  + 7 = 3\sqrt a  + 6\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt a  = 1 \Leftrightarrow \sqrt a  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \(a = 9\) và \(a = \frac{1}{4}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.