Phương pháp giải:

Thay $a = 1\,6\,\,\,\left( {tmdk} \right)$ vào để tính giá trị biểu thức $A$.

Lời giải chi tiết:

Thay $a = 16\,\,\,\left( {tmdk} \right)$ vào $A$ta được:

$A = \frac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }} = \frac{{16 - 4}}{{16 + 2\sqrt {16} }} = \frac{{12}}{{16 + 2.4}} = \frac{{12}}{{24}} = \frac{1}{2}$

Vậy khi $a = 16$ thì $A = \frac{1}{2}.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu số rồi rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $a > 0,\,\,a \ne 4.$

$\begin{array}{l}B = \frac{{5\sqrt a }}{{\sqrt a  - 2}} + \frac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 2}} - \frac{{5a + 2}}{{a - 4}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{5\sqrt a }}{{\sqrt a  - 2}} + \frac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 2}} - \frac{{5a + 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{5\sqrt a \left( {\sqrt a  + 2} \right) + \left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right) - 5a - 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{5a + 10\sqrt a  + a - 3\sqrt a  + 2 - 5a - 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{a + 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}.\end{array}$

Vậy $B = \frac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}.$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Rút gọn $P.$

Đánh giá tập giá trị của biểu thức $P$ sau đó tìm các giá trị nguyên của $P$ rồi suy ra $a.$ Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $a > 0,\,\,a \ne 4.$

$P = A.B = \frac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }}.\frac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}$$= \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 7} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 2} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt a  + 7}}{{\sqrt a  + 2}} = \frac{{\sqrt a  + 2 + 5}}{{\sqrt a  + 2}}$$= 1 + \frac{5}{{\sqrt a  + 2}} > 1$

Ta có: với $a > 0 \Rightarrow \sqrt a  > 0 \Rightarrow \sqrt a  + 2 > 2$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt a  + 2}} < \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt a  + 2}} < \frac{5}{2}\\ \Rightarrow P = 1 + \frac{5}{{\sqrt a  + 2}} < 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}\\ \Rightarrow 1 < P < \frac{7}{2}\end{array}$

Mà $P \in \mathbb{Z} \Rightarrow P = \left\{ {2;\,\,3} \right\}.$

+) Với $P = 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt a  + 7}}{{\sqrt a  + 2}} = 2$ $\Leftrightarrow \sqrt a  + 7 = 2\left( {\sqrt a  + 2} \right)$ $\Leftrightarrow \sqrt a  + 7 = 2\sqrt a  + 4$$\Leftrightarrow \sqrt a  = 3 \Leftrightarrow a = 9\,\,\,\left( {tm} \right).$

+) Với $P = 3 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt a  + 7}}{{\sqrt a  + 2}} = 3$ $\Leftrightarrow \sqrt a  + 7 = 3\left( {\sqrt a  + 2} \right)$$\Leftrightarrow \sqrt a  + 7 = 3\sqrt a  + 6$$\Leftrightarrow 2\sqrt a  = 1 \Leftrightarrow \sqrt a  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right).$

Vậy $a = 9$ và $a = \frac{1}{4}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.