Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức căn bậc ba, biến đổi và nhân liên hợp để chứng minh VT = VP.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\,VT = \frac{1}{{3 + 2\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{\left( {1 + 2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) + \left( {2 + \sqrt[3]{4}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{{{\left( {1 + \sqrt[3]{2}} \right)}^2} + \sqrt[3]{4}\left( {1 + \sqrt[3]{2}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{\left( {1 + \sqrt[3]{2}} \right)\left( {1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt[3]{2} - 1}}{{\left( {1 + \sqrt[3]{2}} \right)\left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)\left( {1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt[3]{2} - 1}}{{\left( {\sqrt[3]{2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^3} - 1} \right]}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt[3]{2} - 1}}{{\sqrt[3]{2} + 1}} = VP.\end{array}$

Vậy $\frac{1}{{3 + 2\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}}} = \frac{{\sqrt[3]{2} - 1}}{{\sqrt[3]{2} + 1}}$.