Câu hỏi:
Cho \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + 3x - 2\) (m là tham số).
Câu 1:
Tìm \(m\) để \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
- A \( - 1 < m < 8\)
- B \( - 8 < m < 1\)
- C \( - 1 \le m < 8\)
- D \( - 8 \le m < 1\)
Phương pháp giải:
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
+ \(f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).
+ \(f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\).
TH1: \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\).
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), do đó \(m = - 1\) thỏa mãn.
TH2: \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\)
\(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\{m^2} - 7m - 8 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\ - 1 < m < 8\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m < 8\).
Vậy \( - 1 \le m < 8\).
Chọn C.
Câu 2:
Tìm \(m\) để \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
- A \(m < - 1\)
- B \(-1 \leq m \leq 8\)
- C \(-8 \leq m \leq 1\)
- D \(m \in \emptyset \)
Phương pháp giải:
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
+ \(f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).
+ \(f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\).
TH1: \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\).
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), do đó \(m = - 1\) không thỏa mãn.
TH2: \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\)
\(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\{m^2} - 7m - 8 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\ - 1 \le m \le 8\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).
Vậy \(m \in \emptyset \).
Chọn D.
Câu hỏi trước
