Câu hỏi:
Cho \(f\left( x \right) = m{x^3} - 3m{x^2} + 3x - 1\) (m là tham số).
Câu 1:
Tìm \(m\) để \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
- A \(0 < m < 1\)
- B \(0 \le m < 1\)
- C \(m > 0\)
- D \(m < 0\)
Phương pháp giải:
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
+ \(f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).
+ \(f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3m{x^2} - 6mx + 3\).
TH1: \(3m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), do đó \(m = 0\) thỏa mãn.
TH2: \(3m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\)
\(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\9{m^2} - 9m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\0 < m < 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 0 < m < 1.\)
Vậy \(0 \le m < 1\).
Chọn B.
Câu 2:
Tìm \(m\) để \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
- A \(m < 0\)
- B \(0 < m < 1\)
- C \(0 \leq m \leq 1\)
- D \(m \in \emptyset \)
Phương pháp giải:
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
+ \(f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).
+ \(f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3m{x^2} - 6mx + 3\).
TH1: \(3m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), do đó \(m = 0\) không thỏa mãn.
TH2: \(3m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\)
\(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\9{m^2} - 9m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\0 \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).
Vậy \(m \in \emptyset \).
Chọn D.
Câu hỏi trước
