Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa.

Quy đồng mẫu, biến đổi rồi rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi biểu thức $A$  về dạng $m + \frac{n}{{MS}}$ với $m,\,\,n \in \mathbb{Z}.$

Từ đó, biểu thức $A \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n\,\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( n \right) \Rightarrow a = ...$

Đối chiếu với điều kiện của $a$ rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm điều kiện của $a$  để $A$  xác định và rút gọn $A.$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a - \sqrt a  \ne 0\\a + \sqrt a  \ne 0\\a - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right) \ne 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right) \ne 0\\a \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\sqrt a  \ne 0\\\sqrt a  - 1 \ne 0\\a \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a \ne 1\\a \ne 2\end{array} \right..$

$\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{a\sqrt a  - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a  + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\\ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {a + \sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {a - \sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}} \right].\frac{{a - 2}}{{a + 2}}\\ = \left( {\frac{{a + \sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }} - \frac{{a - \sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}} \right).\frac{{a - 2}}{{a + 2}}\\ = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a }}.\frac{{a - 2}}{{a + 2}} = \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a + 2}}.\end{array}$

b) Tìm $a$  nguyên để $A$  nguyên.  

Điều kiện: $a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,a \ne 2.$

Ta có: $A = \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a + 2}} = \frac{{2\left( {a + 2} \right) - 8}}{{a + 2}} = 2 - \frac{8}{{a + 2}}.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A \in Z \Leftrightarrow \left( {2 - \frac{8}{{a + 2}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right) \in U\left( 8 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right) \in \left\{ {4;\,8} \right\}\,\,\left( {do\,\,a + 2\, > 2\,\,\forall \,x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2 = 4\\a + 2 = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 6\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $a = 6$  thì $A$  nguyên.