Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Chứng minh yêu cầu bài toán bằng phương pháp biến đổi tương đương.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn $K.$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  - 3\sqrt y  - 6 \ne 0\\\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  + 3\sqrt y  + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) \ne 0\\\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\sqrt x  \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..$

$\begin{array}{l}K = \frac{{2\sqrt x  + 3\sqrt y }}{{\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  - 3\sqrt y  - 6}} - \frac{{6 - \sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  + 3\sqrt y  + 6}}\\ = \frac{{2\sqrt x  + 3\sqrt y }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)}} - \frac{{6 - \sqrt {xy} }}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2\sqrt x  + 3\sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) - \left( {6 - \sqrt {xy} } \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x + 6\sqrt x  + 3\sqrt {xy}  + 9\sqrt y  - \left( {6\sqrt x  - 18 - x\sqrt y  + 3\sqrt {xy} } \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x + x\sqrt y  + 9\sqrt y  + 18}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{x + 9}}{{x - 9}}.\end{array}$

b) Chứng minh rằng: Nếu $K = \frac{{y + 81}}{{y - 81}}$ thì $\frac{y}{x}$ là số nguyên chia hết cho $3.$

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,y \ge 0,\,\,\,x \ne 9.$

 $\begin{array}{l}K = \frac{{y + 81}}{{y - 81}} \Rightarrow \frac{{x + 9}}{{x - 9}} = \frac{{y + 81}}{{y - 81}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 9} \right)\left( {y - 81} \right) = \left( {y + 81} \right)\left( {x - 9} \right)\\ \Leftrightarrow xy + 9y - 81x - 9.81 = xy - 9y + 81x - 9.81\\ \Leftrightarrow 9y = 81x\\ \Leftrightarrow \frac{y}{x} = \frac{{81}}{9} = 9.\end{array}$

Vậy nếu $K = \frac{{y + 81}}{{y - 81}}$ thì $\frac{y}{x}$ là số nguyên chia hết cho 3.